مساحت

پَهنه (به عربی: مساحة) تمام سطح یا کف هر شکل هندسی را مساحت آن شکل گویند که یک چندیِ تعیین‌کنندهٔ بزرگی یک سطح دوبعدی است.

هندسه
تصویر کره بر روی صفحه
خطوط کلی تاریخ هندسه
شاخه‌ها اقلیدسی نااقلیدسی بیضوی کروی هذلولوی غیر-ارشمیدسی تصویری آفین سنتتیک تحلیلی جبری حسابی سیاله‌ای دیفرانسیل ریمانی سیمپلکتیک گسسته مختلط متناهی گسسته دیجیتال محدب محاسباتی فراکتال وقوع
مفاهیم بعد ساخت با خط‌کش و پرگار زاویه منحنی قطر تعامد در جبر خطی (تعامد هندسی) توازی رأس هم‌نهشتی تشابه تقارن
صفر بعدی نقطه
فضای یک بعدی خط مستقیم پاره‌خط خط مستقیم طول
فضای دوبعدی صفحه مساحت چندضلعی مثلث ارتفاع (مثلث) وتر قضیه فیثاغورس متوازی‌الاضلاع مربع مستطیل لوزی Rhomboid چهارضلعی ذوزنقه کایت دایره قطر محیط منحنی مساحت دایره
فضای سه‌بعدی حجم مکعب مکعب مستطیل استوانه هرم (هندسه) کره (هندسه)
چهاربعدی / سایر ابعاد تسرکت ابرکره
فهرست هندسه‌دانان
براساس نام آیدا آریابهاتا احمس ابن هیثم آپولونیوس ارشمیدس مایکل عطیه Baudhayana یانوش بویایی برهماگوپتا الی کارتان هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر رنه دکارت اقلیدس لئونارد اویلر کارل فریدریش گاوس میخائیل لئونیوویچ گروموف دیوید هیلبرت Jyeṣṭhadeva کاتیایانا خیام فلیکس کلاین نیکلای لوباچفسکی Manava هرمان مینکوفسکی Minggatu بلز پاسکال فیثاغورس Parameshvara آنری پوانکاره برنهارت ریمان Sakabe ابوسعید سجزی خواجه نصیرالدین طوسی اسوالد وبلن Virasena Yang Hui al-Yasamin چانگ هنگ فهرست هندسه‌دانان
براساس دوره گاه‌شماری دوران مشترک احمس Baudhayana Manava فیثاغورس اقلیدس ارشمیدس آپولونیوس 1–1400s چانگ هنگ کاتیایانا آریابهاتا برهماگوپتا Virasena ابن هیثم ابوسعید سجزی خیام al-Yasamin خواجه نصیرالدین طوسی Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva رنه دکارت بلز پاسکال Minggatu لئونارد اویلر Sakabe Aida 1700s–1900s کارل فریدریش گاوس نیکلای لوباچفسکی یانوش بویایی برنهارت ریمان فلیکس کلاین آنری پوانکاره دیوید هیلبرت هرمان مینکوفسکی الی کارتان اسوالد وبلن هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر روزگار کنونی مایکل عطیه میخائیل لئونیوویچ گروموف

این سطح می‌تواند مربوط به یک شکل دوبعدی یا یک شکل سه‌بعدی باشد.

در هندسه مساحت با این اصل آغاز می‌شود: مساحت مربعی به طول ۱ برابر است با ۱.

با این اصل می توان اثبات کرد که مساحت مربعی به ازای هر طولی در دسته اعداد حقیقی برابر است با مجذور طول آن ضلع. برای اثبات این مسئله باید یک بار طول ضلع مربع را یک عدد طبیعی بگیرید. سپس ثابت کنید می توانیم ‌n² تا مربع به طول ضلع ۱ در این شکل قرار دهیم. سپس طول ضلع را یک عدد گویا بیان می کنیم مانند ۱/۲ . بعد ثابت می کنید در مربعی به طول ضلع ۱ می توان ۲ تا از این مربع ها قرار داد. پس در بازه‌اعداد گویا هم مساحت مربع برابر است با n². بعد باید به سراغ اعداد گنگ برویم مانند رادیکال ۲. اینجا ۲ دنباله صعودی و نزولی تعریف می کنید که دنباله صعودی از رادیکال ۲ بزرگ تر و یکی دیگر از دنباله های کوچک تر.(دقت کنید ریاضی دان ها ابتدا قبل از این کار اثبات می کنند عدد رادیکال ۲ وجود دارد. اول تعریف رادیکال ۲ را می گویند که هست : عددی که ضربدر خودش می شود ۲ ، سپس ثابت می کنند این عدد وجود دارد!). سپس حاصل ضرب دو عضو این دنباله رو که کمترین اختلاف رو دارند در نظر می گیریم. سپس اختلاف این دو دنباله رو کم می کنیم طوری که خیلی نزدیک به مساحت مربعی به اندازه ۲ واحد می شویم. اینجا با استفاده از قضیه های حد (که اثبات دارند) استفاده می کنیم و می فهمیم باز هم مساحت مربع شده است مجذور طول ضلع آن. بعد از اثبات مساحت مربع به همین ترتیب مساحت مستطیل را اثبات می کنیم که کمی ساده تر است و سپس مثلث و ما بقی شکل ها. منبع:هندسه اول نظام قدیم سال ۶۶ که متاسفانه لینک یا pdf از آن در دسترس نیست.

فرمول‌های مساحت

فرمول‌های مساحت:

شکل	فرمول	متغیرها
مثلث متساوی الاضلاع	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ طول یک ضلع مثلث است.
مثلث	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s}$ نصف محیط، ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle c}$ طول هر ضلع هستند.
مثلث	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!}$	${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ دو ضلع دلخواه و ${\displaystyle C}$ زاویه بین شان است.
مثلث	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh\,\!}$	${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle h}$ به ترتیب قاعده و ارتفاع هستند
مربع	${\displaystyle s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ طول یک ضلع مربع است.
مستطیل	${\displaystyle lw\,\!}$	${\displaystyle l}$ و ${\displaystyle w}$ به ترتیب اندازه طول و عرض مستطیل هستند.
لوزی	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$	${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ طول دو قطر لوزی هستند.
متوازی الاضلاع	${\displaystyle bh\,\!}$	${\displaystyle b}$ طول قاعده و ${\displaystyle h}$ ارتفاع عمود بر آن است.
ذوزنقه	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!}$	${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ طول دو ضلع موازی و ${\displaystyle h}$ فاصله بین شان (ارتفاع) است.
شش ضلعی منتظم	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ طول یکی از اضلاع است.
هشت ضلعی منتظم	${\displaystyle 2\left(1+{\sqrt {2}}\right)s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$ طول یکی از اضلاع است.
چند ضلعی منتظم	${\displaystyle {\frac {ns^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!}$	${\displaystyle s}$ طول یک ضلع و ${\displaystyle n}$ تعداد اضلاع است.
	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap\,\!}$	${\displaystyle a}$ شعاع دایره فرضی محیط بر چندضلعی و ${\displaystyle p}$ محیط چندضلعی است.
دایره	${\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{یا}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!}$	${\displaystyle r}$ شعاع و ${\displaystyle d}$ قطر است.
قطاع دایره	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!}$	${\displaystyle r}$ و ${\displaystyle \theta }$ به ترتیب شعاع و زاویه (برحسب رادیان) هستند.
بیضی	${\displaystyle \pi ab\,\!}$	${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ دو شعاع بیضی هستند.
مساحت کل یک استوانه	${\displaystyle 2\pi r(r+h)\,\!}$	${\displaystyle r}$ و ${\displaystyle h}$ به ترتیب شعاع و ارتفاع هستند.
مساحت جانبی استوانه	${\displaystyle 2\pi rh\,\!}$	${\displaystyle r}$ و ${\displaystyle h}$ به ترتیب شعاع و ارتفاع هستند.
مساحت کل مخروط	${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$	${\displaystyle r}$ و ${\displaystyle l}$ به ترتیب شعاع و مولد مخروط هستند.
مساحت جانبی مخروط	${\displaystyle \pi rl\,\!}$	${\displaystyle r}$ و ${\displaystyle l}$ به ترتیب شعاع و مولد مخروط هستند.
مساحت کل کره	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!}$	${\displaystyle r}$ و ${\displaystyle d}$ به ترتیب شعاع و قطر کره هستند.
مساحت کل کره بیضوی		مانند کره.
مساحت کل هرم	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$	${\displaystyle B}$ مساحت قاعده، ${\displaystyle P}$ محیط قاعده و ${\displaystyle L}$ ارتفاع عمود بر آن هستند.

یکای مساحت

یکای مساحت بر پایهٔ سیستم SI متر مربع (m²) است و آن برابر مساحت مربعی با ضلع یک متر است.

یکای مساحت در ایران

در قدیم در ایران برای اندازه‌گیری مساحت از یکاهای بومی ایرانی مانند گریب (جریب) استفاده می‌شد. همچنین از واحدهای بزرگتری چون هکتار (معادل ۱۰۰۰۰ متر مربع) و کیلومترمربع برای اندازه‌گیری مساحت استفاده می‌شود. واحد ایکر در سیستم انگلیسی برای اندازه‌گیری سطح به کار می‌رود و هر ایکر برابر ۴۰۴۶٫۸۵۶۴۲ متر مربع می‌باشد. در مورد اندازه جریب نظرهای متفاوتی وجود دارد و در مناطق مختلف این اندازه متفاوت است. معمولاً در گذشته هر جریب معادل با ۱۶۰۰ متر مربع بود. در ایران دوره صفویه، هر جریب معادل ۹۵۶ متر مربع بوده‌است. در دوره قاجار هر جریب تقریباً ۱۰۰۰متر مربع محاسبه می‌شده‌است. در سال ۱۳۰۲ محمدحسن خان صنیع الدوله پیشنهاد نمود اوزان و مقیاسهای سنتی ایران، از جمله جریب، با مقادیر متناسب آن‌ها در نظامهای بین‌المللی برابر شود؛ بنابراین از ۱۳۰۲ به بعد ۱۰ جریب معادل ۱هکتار در نظر گرفته شد.

منابع

ویکی‌پدیای انگلیسی en:Area