منحنی

خَم یا مُنحَنی (به انگلیسی: Curve) یک مفهوم هندسی است.

هندسه
تصویر کره بر روی صفحه
خطوط کلی تاریخ هندسه
شاخه‌ها اقلیدسی نااقلیدسی بیضوی کروی هذلولوی غیر-ارشمیدسی تصویری آفین سنتتیک تحلیلی جبری حسابی سیاله‌ای دیفرانسیل ریمانی سیمپلکتیک گسسته مختلط متناهی گسسته دیجیتال محدب محاسباتی فراکتال وقوع
مفاهیم بعد ساخت با خط‌کش و پرگار زاویه منحنی قطر تعامد در جبر خطی (تعامد هندسی) توازی رأس هم‌نهشتی تشابه تقارن
صفر بعدی نقطه
فضای یک بعدی خط مستقیم پاره‌خط خط مستقیم طول
فضای دوبعدی صفحه مساحت چندضلعی مثلث ارتفاع (مثلث) وتر قضیه فیثاغورس متوازی‌الاضلاع مربع مستطیل لوزی Rhomboid چهارضلعی ذوزنقه کایت دایره قطر محیط منحنی مساحت دایره
فضای سه‌بعدی حجم مکعب مکعب مستطیل استوانه هرم (هندسه) کره (هندسه)
چهاربعدی / سایر ابعاد تسرکت ابرکره
فهرست هندسه‌دانان
براساس نام آیدا آریابهاتا احمس ابن هیثم آپولونیوس ارشمیدس مایکل عطیه Baudhayana یانوش بویایی برهماگوپتا الی کارتان هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر رنه دکارت اقلیدس لئونارد اویلر کارل فریدریش گاوس میخائیل لئونیوویچ گروموف دیوید هیلبرت Jyeṣṭhadeva کاتیایانا خیام فلیکس کلاین نیکلای لوباچفسکی Manava هرمان مینکوفسکی Minggatu بلز پاسکال فیثاغورس Parameshvara آنری پوانکاره برنهارت ریمان Sakabe ابوسعید سجزی خواجه نصیرالدین طوسی اسوالد وبلن Virasena Yang Hui al-Yasamin چانگ هنگ فهرست هندسه‌دانان
براساس دوره گاه‌شماری دوران مشترک احمس Baudhayana Manava فیثاغورس اقلیدس ارشمیدس آپولونیوس 1–1400s چانگ هنگ کاتیایانا آریابهاتا برهماگوپتا Virasena ابن هیثم ابوسعید سجزی خیام al-Yasamin خواجه نصیرالدین طوسی Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva رنه دکارت بلز پاسکال Minggatu لئونارد اویلر Sakabe Aida 1700s–1900s کارل فریدریش گاوس نیکلای لوباچفسکی یانوش بویایی برنهارت ریمان فلیکس کلاین آنری پوانکاره دیوید هیلبرت هرمان مینکوفسکی الی کارتان اسوالد وبلن هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر روزگار کنونی مایکل عطیه میخائیل لئونیوویچ گروموف

نمونه‌ای از یک منحنی ساده و بسته: به این شکل در هندسه درون‌چرخه‌زاد[1] گفته می‌شود.

تعریف منحنی

در ریاضیات، مفهوم منحنی (خم) برای نشان دادن یک شیء یک بعدی و پیوسته به کار می‌رود. یک مثال ساده دایره‌است. در گفتگوی روزمره یک خط صاف منحنی در نظر گرفته نمی‌شود؛ ولی در مکالمهٔ ریاضیاتی خط‌های مستقیم و پاره خط‌ها نیز خم‌اند. تعداد زیاد دیگری منحنی در هندسه مطالعه می‌شوند.

منحنی لوبیایی نوعی منحنی چارکی با فرمول: ${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+1/7y^{2})}$

عبارت منحنی (خم) همچنین در حالاتی استفاده می‌شود که آن را تقریباً هم‌معنی با تابع ریاضی یا نمودار تابع می‌سازد.

انواع منحنی (خم)

به‌طور کلی، خم یا منحنی بر دو گونه‌است:

• منحنی مسطح: خمی است که بر روی سطح دوبعدی (صفحه)قابل جایگیری است.
• منحنی کج: خمی فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد.

منحنی مسطح

به‌طور شهودی، خم مسطح به مجموعه‌ای از نقطه‌ها گفته می‌شود، به شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم.[2]

انواع منحنی مسطح

منحنی ساده

یک منحنی ساده، یک منحنی مسطح است که هیچ‌یک از نقطه‌های خود را قطع نکند.[3]

تعاریف

در توپولوژی، منحنی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

فرض کنیم I بازه‌ای‌ست از اعداد حقیقی (یعنی یک زیر مجموعه همبند ناتهی از ${\displaystyle \mathbb {R} }$). آنگاه، خم ${\displaystyle \!\,\gamma }$ یک نگاشت پیوسته ${\displaystyle \,\!\gamma :I\rightarrow X}$ است که X یک فضای توپولوژیکی است.

خم ${\displaystyle \!\,\gamma }$ را ساده می‌گویند اگر که برای هر x,y در I داشته باشیم:

${\displaystyle \,\!\gamma (x)=\gamma (y)\rightarrow x=y}$

در صورتی که، I بازه‌ای بسته و کراندار ${\displaystyle \,\![a,b]}$ باشد، امکان ${\displaystyle \,\!\gamma (a)=\gamma (b)}$ را هم مجاز در نظر می‌گیریم (این قرارداد امکان این را می‌دهد که راجع به خم سادهٔ بسته صحبت کنیم).

چنانچه، به ازاء برخی ${\displaystyle x\neq y}$ (غیر از دوسر I) داشته باشیم:

${\displaystyle \,\!\gamma (x)=\gamma (y)}$

آنگاه به ${\displaystyle \,\!\gamma (x)}$ یک نقطهٔ مضاعف (یا چندگانه) از خم گفته می‌شود.

خم ${\displaystyle \!\,\gamma }$ را بسته یا یک حلقه می‌گوییم اگر ${\displaystyle \,\!I=[a,b]}$ و اگر ${\displaystyle \!\,\gamma (a)=\gamma (b)}$. بنابراین یک خم بسته یک نگاشت پیوسته از دایره ${\displaystyle S^{1}}$ است. یک خم ساده بسته همچنین یک خم ژوردان گفته می‌شود. یک خم صفحه‌ای خم‌ای است که برای آن X یک فضای اقلیدسی است—این‌ها مثال‌هایی هستند که ابتدا بیان شدند --. یک خم فضایی خم‌ای است که برای آن X سه بعدی یا فضای اقلیدسی است. یک خم کج خم فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد. این تعاریف همچنین در مورد خم‌های جبری نیز صادقند. اما در مورد خم جبر معمول است که خم را به داشتن نقاط تعریف شده روی اعداد حقیقی محدود نکنیم.

قراردادها و اصطلاحات

تفاوت بین یک منحنی و تصویر آن مهم است. دو منحنی متمایز ممکن است تصویر یکسان داشته باشند. به عنوان مثال یک پاره خط می‌تواند در سرعت‌های متفاوت پیموده شود، یا یک دایره می‌تواند به دفعات متفاوت پیموده شود. با این وجود خیلی اوقات ما فقط به تصویر منحنی علاقه‌مندیم. مهم است که هنگام مطالعه به زمینه و قرارداد توجه شود.

نامگذاری نیز همچنین یکسان نیست. اغلت توپولوژیست‌ها از اصطلاح «مسیر» به عنوان آنچه ما منحنی می‌نامیم و از «منحنی» به عنوان به عنوان آنچه ما تصویر می‌نامیم استفاده می‌کنند. اصطلاح «خم» در حساب برداری و هندسه دیفرانسیل معمول است.

انحناء منحنی‌ها

مقالهٔ اصلی: انحناء

طول خم

اگر X یک فضای متری با متر d باشد، آنگاه «طول» خم ${\displaystyle \!\,\gamma$ :[a,b]\rightarrow X} را با

${\displaystyle {\mbox{Length}}(\gamma )=\sup \left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1})):n\in \mathbb {N} {\mbox{ and }}a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b\right\}.}$

تعریف کنیم. یک خم تصحیح پذیر یک خم با طول متناهیست. معادله پارامتری از ${\displaystyle \!\,\gamma }$ طبیعی (یا سرعت واحد یا پارامتری شده با طول خم) نامیده می‌شود اگر برای هر ${\displaystyle t_{1}}$، ${\displaystyle t_{2}}$ در ${\displaystyle [a,b]}$ داشته باشیم

${\displaystyle {\mbox{length}}(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]})=|t_{2}-t_{1}|}$

اگر ${\displaystyle \!\,\gamma }$ یک تابع پیوسته لیپشیتس باشد، آنگاه خودش تصحیح‌پذیر است. بعلاوه، در این حالت، می‌توان سرعت ${\displaystyle \!\,\gamma }$ در ${\displaystyle t_{0}}$ را به صورت

${\displaystyle {\mbox{speed}}(t_{0})=\limsup _{t\to t_{0}}{d(\gamma (t),\gamma (t_{0})) \over |t-t_{0}|}}$

تعریف کرد؛ و آنگاه

${\displaystyle {\mbox{length}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\mbox{speed}}(t)\,dt.}$

به‌طور خاص، اگر ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ یک فضای اقلیدسی و ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} مشتق‌پذیر باشد آنگاه

${\displaystyle {\mbox{Length}}(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\,{d\gamma \over dt}\,\right|\,dt.}$

منابع

• Curve. (2011, May 31). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 16:06, June 8, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Curve&oldid=431898353

1. hypotrochoid
2. کتاب درسی هندسه ۱، سال دوم متوسطه، چاپ دهم ۱۳۸۳، شابک ‎۹۷۸۹۶۴۰۵۰۵۸۹۲ ، ص ۲۴
3. کتاب درسی هندسه ۱، سال دوم متوسطه،

   منحنی بسته

   منحنی بسته، به خمی اطلاق می‌شود که نقطه‌های (انتهایی) آن به هم رسیده (و بر همدیگر منطبق) باشند.

   منحنی سادهٔ بسته

   منحنی ای ساده بسته‌است که نقطه‌های ابتدا و انتهایی آن برهم منطبق باشند و نقطه‌های خود را قطع نکند.

   قضیه منحنی جردن

   هر منحنی سادهٔ بسته C، صفحه را به سه زیر مجموعهٔ جدا از هم درون، بیرون و روی منحنی تقسیم می‌کند.<ref>کتاب درسی هندسه ۱، سال دوم متوسطه، چاپ دهم ۱۳۸۳، شابک ‎۹۷۸۹۶۴۰۵۰۵۸۹۲ ، ص ۲۶