کره (هندسه)

کُره یا سِپِهر (به انگلیسی: Sphere) یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است.

هندسه
تصویر کره بر روی صفحه
خطوط کلی تاریخ هندسه
شاخه‌ها اقلیدسی نااقلیدسی بیضوی کروی هذلولوی غیر-ارشمیدسی تصویری آفین سنتتیک تحلیلی جبری حسابی سیاله‌ای دیفرانسیل ریمانی سیمپلکتیک گسسته مختلط متناهی گسسته دیجیتال محدب محاسباتی فراکتال وقوع
مفاهیم بعد ساخت با خط‌کش و پرگار زاویه منحنی قطر تعامد در جبر خطی (تعامد هندسی) توازی رأس هم‌نهشتی تشابه تقارن
صفر بعدی نقطه
فضای یک بعدی خط مستقیم پاره‌خط خط مستقیم طول
فضای دوبعدی صفحه مساحت چندضلعی مثلث ارتفاع (مثلث) وتر قضیه فیثاغورس متوازی‌الاضلاع مربع مستطیل لوزی Rhomboid چهارضلعی ذوزنقه کایت دایره قطر محیط منحنی مساحت دایره
فضای سه‌بعدی حجم مکعب مکعب مستطیل استوانه هرم (هندسه) کره (هندسه)
چهاربعدی / سایر ابعاد تسرکت ابرکره
فهرست هندسه‌دانان
براساس نام آیدا آریابهاتا احمس ابن هیثم آپولونیوس ارشمیدس مایکل عطیه Baudhayana یانوش بویایی برهماگوپتا الی کارتان هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر رنه دکارت اقلیدس لئونارد اویلر کارل فریدریش گاوس میخائیل لئونیوویچ گروموف دیوید هیلبرت Jyeṣṭhadeva کاتیایانا خیام فلیکس کلاین نیکلای لوباچفسکی Manava هرمان مینکوفسکی Minggatu بلز پاسکال فیثاغورس Parameshvara آنری پوانکاره برنهارت ریمان Sakabe ابوسعید سجزی خواجه نصیرالدین طوسی اسوالد وبلن Virasena Yang Hui al-Yasamin چانگ هنگ فهرست هندسه‌دانان
براساس دوره گاه‌شماری دوران مشترک احمس Baudhayana Manava فیثاغورس اقلیدس ارشمیدس آپولونیوس 1–1400s چانگ هنگ کاتیایانا آریابهاتا برهماگوپتا Virasena ابن هیثم ابوسعید سجزی خیام al-Yasamin خواجه نصیرالدین طوسی Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva رنه دکارت بلز پاسکال Minggatu لئونارد اویلر Sakabe Aida 1700s–1900s کارل فریدریش گاوس نیکلای لوباچفسکی یانوش بویایی برنهارت ریمان فلیکس کلاین آنری پوانکاره دیوید هیلبرت هرمان مینکوفسکی الی کارتان اسوالد وبلن هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر روزگار کنونی مایکل عطیه میخائیل لئونیوویچ گروموف

نگارهٔ یک کره.

حجم کره

در سه بُعد، حجم درون یک کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

که در این رابطه، r شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است.

در ریاضیات امروزی حجم کره با کمک انتگرال‌گیری بدست می‌آید.

محاسبهٔ حجم کره با کمک مفهوم انتگرال

نیم کرهٔ مورد بحث

نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور yها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ h = ۰ قرار دارد، شعاعی برابر با r دارد (s = r) و دیسکی که در نقطهٔ h = r قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (s = ۰).

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه h، برابر با δh باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

${\displaystyle \!\delta V\approx \pi s^{2}\cdot \delta h.}$

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

${\displaystyle \!V\approx \sum \pi s^{2}\cdot \delta h.}$

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر[1] است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

${\displaystyle \!V=\int _{0}^{r}\pi s^{2}dh.}$

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

${\displaystyle \!r^{2}=s^{2}+h^{2}}$

پس به جای ${\displaystyle s^{2}}$ از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار ${\displaystyle h^{2}}$ است استفاده می‌کنیم:

${\displaystyle \!r^{2}-h^{2}=s^{2}}$

مقدار تازهٔ ${\displaystyle s^{2}}$ را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

${\displaystyle \!V=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-h^{2})dh.}$

مقدار انتگرال برابر است با:

${\displaystyle \!V=\pi \left[r^{2}h-{\frac {h^{3}}{3}}\right]_{0}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-0^{3}+{\frac {0^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}.}$

حجم نیمی از کره برابر با ${\displaystyle \!V={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$ است پس حجم کل کره می‌شود:

${\displaystyle \!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

${\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

مساحت کره

مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle \!A=4\pi r^{2}.}$

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به r، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا r می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با δV، ضخامت هر پوسته را با δr و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع r با A(r) نمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

${\displaystyle \delta V\approx A(r)\cdot \delta r\,}$

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

${\displaystyle V\approx \sum A(r)\cdot \delta r}$

هنگامی که δr به سمت صفر میل می‌کند[1] باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr}$

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr}$

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

${\displaystyle \!4\pi r^{2}=A(r)}$

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

${\displaystyle \!A=4\pi r^{2}}$

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت ${\displaystyle dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi }$ و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت ${\displaystyle dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-\sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}\Pi _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k}$ بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi =4\pi r^{2}.}$

منابع

1. Pages 141, 149. E.J. Borowski, J.M. Borwein (1989). Collins Dictionary of Mathematics. ISBN 0-00-434347-6.

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ کره (هندسه) موجود است.