سطح مخروطی

در هندسهٔ تحلیلی، سطح مخروطی یا رویهٔ مخروطی (به انگلیسی: Conical surface) یک رویهٔ بی‌کران است که از دوران یک خط حول یک محور (متقاطع) به دست می‌آید.

به طور کلّی‌تر، یک مخروط بیضوی (به انگلیسی: Elliptic Cone) از انواع رویه‌های درجهٔ دوم است[1].

به مخروط بیضوی و نیز به سطح مخروطی، به طور خلاصه مخروط نیز می‌گویند. در گذشته «مخروط» به معنی سطحی کران‌دار و قائم با قاعدهٔ دایره بود. در طی زمان‌ها مفهوم کلمهٔ «مخروط» مخروط اریب را نیز شامل شد و پس از پیشرفت بیشتر ریاضیات، این اصطلاح کامل‌تر شد و سطح مخروطی را نیز شامل شد. هنوز در تدریس ریاضی در سطوح ابتدایی در جهان از معنی قدیمی استفاده می‌شود[2].

ویژگی‌ها

هر سطح مخروطی سه محور (خط) تقارن عمود بر هم دارد که در یک مرکز (نقطه) تقارن با یکدیگر تقاطع دارند.

به مرکز تقارن سطح مخروطی رأس آن می‌گویند و به محور تقارن آن محور. هر خط روی مخروط (خطوطی که با دوران آن‌ها حول محور، مخروط به دست می‌آید) را یک مولّد سطح مخروطی می‌نامند[3].

مقاطع مخروطی

۱ و ۲: دایره و بیضی ۳: سهمی ۴: هذلولی

هر سطح مقطع از سطح مخروطی یا یک هذلولی ست، یا سهمی، یا بیضی یا دایره، یا یک خط یا نقطه و یا تهی ست[3].

معادلهٔ استاندارد

در دستگاه مختصات دکارتی، روش استاندارد نمایش یک مخروط بیضوی با مرکز تقارن در مبدأ مختصات به صورت زیر است[1]:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0}$

اگر ${\displaystyle a=b}$ باشد سطح مخروطی (دایروی) حاصل می‌شود.

در ابعاد بالاتر

یک ابرمخروط در فضای ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، یک ابررویهٔ درجه دو است. یک ابرمخروط، همهٔ نقاطی مانند ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ است که در معادلهٔ استاندارد زیر صدق کنند:

${\displaystyle \pm {x_{1}^{2} \over c_{1}^{2}}\pm {x_{2}^{2} \over c_{2}^{2}}\pm \dots \pm {x_{n}^{2} \over c_{n}^{2}}=0}$

جستارهای وابسته

• مخروط
• رویه
• ابررویهٔ درجهٔ دوم

منابع

1. «۱۲٫۶». Thomas' Calculus (14th Edition).
2. ریاضی ششم (آموزش و پرورش).
3. «۲: آشنایی با مقاطع مخروطی». هندسه ۳ (آموزش و پرورش).