بیضی‌گون

در هندسهٔ تحلیلی، بیضی‌گون (به انگلیسی: Ellipsoid) یک رویهٔ کران‌دار و یکی از انواع رویه‌های درجهٔ دوم است.[1] بیضی‌گون را می‌توان حاصل دفُرمه کردن یک کره تصور کرد.

ویژگی‌ها

سطح مقطع بیضی‌گون

هر سطح مقطع از بیضی‌گون یا یک بیضی است، یا یک نقطه و یا تهی[2]. به همین دلیل است که بیضی‌گون (به معنی شبیه بیضی) نامگذاری شده.

تقارن و قطرها

بیضی‌گونی با محورهای تقارن ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ و ${\displaystyle z}$، مرکز تقارن ${\displaystyle O}$ و شعاع‌های ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle c}$

بیضی‌گون سه محور (خط) تقارن دارد که همگی برهم عمود و در یک مرکز (نقطه) تقارن (مرکز بیضی) با یکدیگر متقاطع هستند.

سه پاره‌خط محدود در بیضی و روی محور‌های تقارنش را قطر‌های بیضی می‌نامند.

حجم

حجم بیضی‌گون به کمک فرمول ${\displaystyle {4 \over 3}\pi abc}$ زیر به دست می‌آید.

حالت‌های خاص

تصویری از انواع خاص بیضی‌گون با شعاع‌های ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle c}$: کره (بالا)، کره‌گون (چپ) و بیضی‌گون به طور کلّی (راست)

• اگر دو تا از قطر‌های بیضی‌گون برابر باشند، به آن کره‌گون نیز می‌گویند که از دوران یک بیضی به دست می‌آید.
• اگر هر سه قطر بیضی با یکدیگر برابر باشند، به آن کره می‌گویند.

معادلهٔ استاندارد

در دستگاه مختصات دکارتی، روش استاندارد نمایش بیضی‌گونی با قطر‌های ${\displaystyle 2a}$ و ${\displaystyle 2b}$ و ${\displaystyle 2c}$ و با مرکز در مبدأ مختصات به صورت زیر است[1]:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$

در ابعاد بالاتر

بیضی‌گون یک رویهٔ درجه دو است. یک ابربیضی‌گون در فضای ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، یک ابررویهٔ درجه دو است.

یک بیضی‌گون با مرکز در مبدأ مختصات شعاع‌های ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$، مکان هندسی نقاطی مانند ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ است که در معادلهٔ استاندارد زیر صدق کنند:

${\displaystyle {x_{1}^{2} \over c_{1}^{2}}+{x_{2}^{2} \over c_{2}^{2}}+\dots +{x_{n}^{2} \over c_{n}^{2}}=1}$

محاسبهٔ حجم ابربیضی‌گون شبیه بیضی‌گون است.

جستارهای وابسته

• بیضی
• رویه
• ابر رویهٔ درجهٔ دوم

منابع

1. «۱۲٫۶». Thomas' Calculus (14th Edition).
2. Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, p. 117, ISBN 978-0-486-81026-3

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ بیضی‌گون موجود است.