نابرابری یانگ

صورت نامساوی یانگ (به انگلیسی: young's inequality): اگر a,b>۰ و p و q اعداد حقیقی و مثبت باشند به نحوی که مجموع معکوس‌های p و q برابر یک باشد، آنگاه a^p/p+b^q/q≥ab

اثبات

این قضیه را برای اعداد گویای p و q ثابت می‌کنیم و سپس می‌توان قضیه را برای p,q‌های گنگ نیز تعمیم داد.

قرار می‌دهیم x_۱=x_۲=... =x_m=X و x_m+1=x_m+2=... =x_n=Y و از نامساوی حسابی-هندسی استفاده می‌کنیم. (n≥m):

[x۱+x۲+... +xm+xm+1+xm+2+... +xn ≥ \sqrt[n

{x_۱.x_۲.....x_m.x_m+1.x_m+2.....x_n}. n ---> mX+(n-m)Y ≥ \sqrt[n]{X^m.Y^n-m}.n

می‌دانیم که n≥m≥1 پس می‌توان n و m را طوری انتخاب کرد که m/n برابر هر عدد گویایی در بازه ی [۱٬۰] باشد، پس می‌توان فرض کرد که p=n/m و q=n/n-m (این دو مقدار در شرایط فرض صدق می‌کنند) و با توجه به نامساوی که بدست آوردیم به این نتیجه می‌رسیم که:
X/p+Y/p ≥ X^1/p.Y^1/q
که با جایگذاری Y=b^p و X=a^p به نامساوی a^p/p+b^q/q≥ab تبدیل می‌شود.

منابع

• مباحث و مسائل جبر در المپیاد ریاضی، مهدی صفا، تهران، انتشارات خوشخوان، ۱۳۸۹، ص ۲۹