عدد گویا

عدد گویا[1] (به انگلیسی: Rational number) در علم ریاضیات، عددی است، که می‌تواند به صورت کسر p/q از دو عدد صحیح (p صورت کسر و q مخرج کسر بیان شود.[2] به عبارت دیگر اعداد گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح به جز صفر پدید آمده باشد مثلاً عدد صحیح زیر رادیکال نباشد.[3] از آن‌جایی که ${\displaystyle q}$ می‌تواند برابر با عدد یک باشد، پس تمامی اعداد صحیح، عدد گویا نیز هستند. مجموعه تمام اعداد گویا معمولاً با حرف ${\displaystyle Q}$ (یا علامت ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) نمایش داده می‌شود که به انتخابِ جوزپه پئانو از ابتدای کلمهٔ ایتالیاییِ quoziente، به‌معنای خارج‌قسمت، اخذ شده‌است.[4]

اعداد گویا (Q) زیرمجموعهٔ اعداد حقیقی (R) هستند. از سوی دیگر؛ آن‌ها اعداد صحیح (ℤ) را زیر مجموعهٔ خود دارند، که آن‌هم به‌نوبهٔ خود اعداد طبیعی (ℕ) را زیر مجموعهٔ خود دارد.

تمامی اعداد حقیقی که گویا نباشند، گنگ هستند. به عنوان نمونه، نسبت ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ کسر هست، اما یک عدد گنگ است. به‌طور کلی می‌توان اعداد گویا را بدین صورت تعریف کرد: ${\displaystyle \{{\frac {x}{y}}\mid x\in \mathbb {Z} ,y\in \mathbb {Z} ,y\neq 0\}}$

اعداد صحیح، طبیعی و اعداد حسابی همه زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند زیرا مخرج تمامی اعداد طبیعی یک است و علامت آن‌ها مثبت در نتیجه همهٔ آنان کسر هستند. اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد زیرا هر عدد اعشاری را می‌توان به صورت کسری نوشت که مخرج آن یکی از توان‌های مثبت ۱۰ و صورت آن یک عدد صحیح باشد. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود. اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد (تقسیم یک عدد صحیح بر یک عدد صحیح[5]) هستند. بین دو عدد گویا بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت ادامه دارند. همچنین بین دو عدد گنگ بی شمار عدد گنگ وجود دارد.

مقایسه

برای مقایسه اعداد گویای مثبت، پس از هم مخرج کردن، صورت‌هایشان مورد مقایسه قرار می‌گیرد؛ هر کدام که بزرگتر بود، آن عدد بزرگتر است. برای هم مخرج کردن، صورت و مخرج هر یک از اعداد گویا در مخرج دیگری ضرب می‌شود.

نکته: بین دو عدد گویای مثبت که صورتشان برابر است، عددی که مخرجش کوچکتر باشد، از عدد دیگر بزرگتر است.

برای مقایسه دو عدد گویای ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ و ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ به‌صورت زیر مخرج‌ها یکی می‌شوند:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a\times d}{b\times d}},{\frac {c}{d}}={\frac {c\times b}{d\times b}}}$

سپس صورت دو کسر به‌دست‌آمده مورد مقایسه قرار می‌گیرند: ${\displaystyle a\times d\;?\;c\times b}$

مثال

دو عدد ${\displaystyle {\frac {5}{11}}}$ و ${\displaystyle {\frac {3}{7}}}$ به‌صورت زیر مقایسه می‌شوند:

${\displaystyle {\frac {3}{7}}={\frac {3\times 11}{7\times 11}}={\frac {33}{77}}\;,\;{\frac {5}{11}}={\frac {5\times 7}{11\times 7}}={\frac {35}{77}}\Rightarrow 33<35\Rightarrow {\frac {3}{7}}<{\frac {5}{11}}}$

اعمال اصلی ریاضی

جمع و تفریق

برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها یکسان شده، سپس صورت‌ها با هم جمع یا تفریق می‌شوند:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}}$

مثال

${\displaystyle {\frac {4}{3}}+{\frac {2}{5}}={\frac {20+6}{15}}={\frac {26}{15}}}$

${\displaystyle {\frac {5}{6}}-{\frac {5}{4}}={\frac {20-30}{24}}={\frac {-10}{24}}}$

ضرب

برای ضرب اعداد گویا، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها نیز در هم ضرب می‌شوند.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

مثال

${\displaystyle {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {14}{35}}={\frac {2\times 14}{5\times 35}}={\frac {28}{175}}}$

تقسیم

برای تقسیم دو عدد گویا، عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌شود.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}.{\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}$

مثال

${\displaystyle {\frac {5}{7}}\div {\frac {3}{5}}={\frac {5}{7}}\cdot {\frac {5}{3}}={\frac {5\times 5}{7\times 3}}={\frac {25}{21}}}$

جستارهای وابسته

طبقه‌بندی اعداد مختلط ${\displaystyle$ :\;\mathbb {C} } حقیقی ${\displaystyle$ :\;\mathbb {R} } گویا ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Q} } صحیح ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Z} } طبیعی ${\displaystyle$ :\;\mathbb {N} } یک: 1 اعداد اول اعداد مرکب صفر: 0 اعداد صحیح منفی کسری مختوم متناوب ساده مرکب گنگ اعداد گنگ جبری متعالی موهومی

منابع

1. «عدد گویا» [ریاضی] هم‌ارزِ «rational number»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر ششم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ عدد گویا)
2. Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
3. Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
4. Rouse, Margaret. "Mathematical Symbols". Retrieved 1 April 2015.
5. chap.sch.ir صفحهٔ ۸.

Wikipedia contributors, "Rational number," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rational_number&oldid=206998939