زیرمجموعه

در ریاضیات، مجموعه ای چون A را زیرمجموعه B نامند هرگاه تمام اعضای A، اعضایی از B نیز باشند؛ در این حالت می‌گویند B ابرمجموعه A است. ممکن است هردوی A و B برابر باشند؛ در صورت نابرابریشان، گویند A زیرمجموعه محضی از B است. رابطه زیرمجموعه بودن را شمول می‌نامند. «A زیرمجموعه B» را می‌توان به صورت «B شامل A» یا «B مجموعه A را در بر می‌گیرد» یا «A مشمول در B است» نیز بیان کرد.

دیاگرام اویلر، مجموعه A را به عنوان زیرمجموعه محضی از B نشان داده (${\displaystyle A\subset B}$) و برعکس، B ابر مجموعه محضی از A است.

روابط زیرمجموعگی روی مجموعه‌ها، رابطه ترتیب جزئی را رویشان تعریف می‌کند. در حقیقت، زیرمجموعه‌های یک مجموعه دلخواه، تحت رابطه زیرمجموعگی تشکیل جبر بولی می‌دهند که در آن جوین و میت همان اشتراک و اجتماع اند و خود رابطه زیرمجموعه بودن را رابطه شمول بولی می‌نامند.

تعریف

اگر ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ دو مجموعه باشند و تمام اعضای ${\displaystyle A}$ در ${\displaystyle B}$ نیز باشد، آنگاه:

• می‌توان گفت که ${\displaystyle A}$ زیرمجموعهٔ ${\displaystyle B}$ است. و آن را به صورت ${\displaystyle A\subseteq B}$ می‌توانیم بنویسیم.

همچنین از سوی دیگر می‌توان گفت:

• B ابرمجموعهٔ A است.

به عنوان مثال، اگر داشته باشیم ${\displaystyle B=\{1,2,3,7\}}$

آنگاه ${\displaystyle A=\{1,7\}}$ که با حذف عضوهای ۲ و ۳ به‌دست آمده‌است را زیرمجموعهٔ B می‌گویند.

اگر مجموعهٔ A زیرمجموعهٔ B باشد و هم‌زمان مجموعهٔ B نیز زیرمجموعهٔ A، مجموعه‌های A و B با یکدیگر برابرند.

زیر مجموعه محض (سره)

اگرA ${\displaystyle \subset }$B، ولی A≠ B آنگاه A زیر مجموعه محض یا سره Bنامیده می‌شود

همه زیر مجموعه‌های یک مجموعه به جز خود مجموعه را زیر مجموعه‌های محض یا سره می‌گویند.

به عنوان مثال ، ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ و ${\displaystyle B=\{1,2,3,7\}}$ باشد آنگاه A زیر مجموعه محض (سره) مجموعه B می‌باشد.

توجه داشته باشید هر مجموعه ${\displaystyle \phi }$(تهی) را به عنوان زیر مجموعه سره خود دارد اما خود ${\displaystyle \phi }$(تهی) زیر مجموعه سره ندارد.

تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه

تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با ${\displaystyle 2^{n}}$ .

تعداد زیر مجموعه‌های محض (سره) یک مجموعه n عضوی برابر است با ${\displaystyle 2^{n}-1}$.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Subset». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ آوریل ۲۰۲۱.

کتابشناسی

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

پیوندهای بیرونی

• Weisstein, Eric W. "Subset". MathWorld.