جدول ارزش

در منطق، جدول ارزش یا جدول درستی (به انگلیسی: Truth table) به جدولی اطلاق می‌شود، که در آن درستی و نادرستی گزاره‌ها درج گردد. منظور از درستی یا صدق در هر گزاره، مطابقت آن با واقع؛ و منظور از نادرستی یا کذب عدم مطابقت آن با واقع است. هر گزاره درست در این جدول‌ها با «د» یا «T» و هر گزاره غلط با «ن» یا «F» نشان داده می‌شود.

عملگرهای یگانی(تک ورودی)

همانی

عملگر همانی ورودی را بدون تغیر به خروجی می برد

عملگر همانی
p p
دد
نن

نقیض

نقیض عملگری است که هرگاه قضیه‌ای (گزاره‌ای) صادق و درست باشد، آن را به قضیه‌ای کاذب و نادرست تبدیل خواهد کرد. معمولاً نقیض گزاره p را با عبارت « ~p» یا « p» نشان می‌دهند که خوانده می‌شود « نه p » یا « چنین نیست که p ».

تناقض منطقی
K Q
دن
ند

عملگرهای دودویی

جدول درستی برای تمام توابع دودویی

در اینجا جدول عملگرهای دودویی برای 16 تابع ممکن امده است

PQFNORXqXORNANDANDXNORqIF/ThenpThen/IFORT
دد نننننننندددددددد
دن ننننددددنننندددد
ند ننددننددننددنندد
نن ندندندندندندندند

کلید:

نام عملگر
0OpqFfalseتناقض
1XpqNORنقیض فصلی
2MpqXqConverse nonimplication
3FpqNp¬pنقیض
4LpqXpMaterial nonimplication
5GpqNq¬qنقیض
6JpqXORترکیب فصلی ضمنی
7DpqNANDنقیض عطفی
8KpqANDترکیب عطفی
9EpqXNORاگر و تنها اگرنقیض فصلی ضمنی
10HpqqProjection function
11CpqXNpif/thenترکیب شرطی
12IpqpProjection function
13BpqXNqthen/ifترکیب دوشرطی
14ApqORترکیب فصلی
15VpqTtrueراستگو

ترکیب عطفی(AND)

عملگری است که در آن دو قضیه به وسیله حرف عطف «و» با هم ترکیب می‌شوند. قضیه حاصل از ترکیب عطفی درست خواهد بود؛ اگر و فقط اگر هر دوی قضایای ساده تشکیل‌دهنده آن درست باشند. ترکیب عطفی p و q چنین نوشته می‌شود «p.q»

ترکیب عطفی
p q p ∧ q
ددد
دنن
ندن
ننن

q و p اگر هر دو درست باشند، ترکیب عطفی p ∧ q درست است؛ اگر یکی از قضایای p و q یا هر دو نادرست باشند، آن گاه ترکیب عطفی p ∧ q نادرست است.

ترکیب فصلی(OR)

هرگاه دو قضیه حملی ساده را با حرف «یا» ترکیب کنیم، قضیه مرکب تشکیل شده را ترکیب فصلی می‌نامند. تنها وقتی قضیه حاصل از ترکیب فصلی، نادرست خواهد بود که هر دو قضیه تشکیل‌دهنده آن نادرست باشد. ترکیب فصلی را به صورت « p ∨ q» یا « p || q» یا « p + q» نشان می‌دهند، و خوانده می‌شود: « p یا q»

ترکیب فصلی
p q p ∨ q
ددد
دند
ندد
ننن

ترکیب شرطی(IF)

در ترکیب شرطی به صدق قضیه دوم در فرض صدق قضیه اول و کذب قضیه دوم حکم می‌شود. در ترکیب شرطی، قضیه اول را مقدم و قضیه دوم را تالی می‌گویند. ترکیب شرطی به صورت « p → q» یا « p ⇒ q» و خوانده می‌شود « اگر p آنگاه q» یا « p ایجاب می‌کند q را»

ترکیب شرطی
p q p → q
ددد
دنن
ندد
نند

ترکیب دو شرطی(IF ONLY IF)

ترکیب دوشرطی برابری منطقی است و از دو ترکیب شرطی تشکیل می‌شود، که مقدم و تالی یکی از آن‌ها، به ترتیب مقدم و تالی دیگری باشد.ارزش ترکیب دوشرطی درست خواهد بود، اگر و فقط اگر، هر دو قضیه تشکیل‌دهنده ترکیب دوشرطی صادق یا کاذب باشند. ترکیب دوشرطی نوشته می‌شود: ، p ↔ q یا p ≡ q و خوانده می‌شود: « اگر و فقط اگر p آنگاه q» یا « q شرط لازم و کافی‌است برای p»

ترکیب دوشرطی
p q p ≡ q
ددد
دنن
ندن
نند

ترکیب فصلی ضمنی(XOR)

در ترکیب فصلی ضمنی، ارزش دو گزاره در این ترکیب درست خواهد بود، اگر و فقط اگر یکی از اجزای آن درست باشد، و نه هر دوی آن. ترکیب فصلی ضمنی را با علامت p ⊕ q نشان می‌دهند.

ترکیب فصلی ضمنی
p q p ⊕ q
ددن
دند
ندد
ننن

عملگر NAND

این عملگر دو عملوند دارد و فقط در حالتی نادرست است که هر دو عملوند درست باشند. آن را با ↑ نشان می‌دهند.

عملگر NAND
p q pq
ددن
دند
ندد
نند

این عملگر هم ارز با (p ∧ q)¬ و (p) ∨ (¬q¬) است.

p q p  q (p  q (p)  (¬q¬)
دددنننن
دنندندد
ندنددند
ننندددد

عملگر NOR

عملگر NOR دو عملوند دارد و فقط در حالتی درست است که هر دو عملوند نادرست باشند. آن را با ↓ نشان می‌دهند.

عملگر NOR
p q pq
ددن
دنن
ندن
نند

این عملگر با (p ∨ q)¬ و (p) ∧ (¬q¬) هم ارز است.

p q p  q (p  q (p)  (¬q¬)
دددنننن
دندنندن
نددندنن
ننندددد

کاربرهای جدول درستی

از جدول درستی میتوان برای اثبات روابط منطقی استفاده کرد. مثلاً :

(pq) = (¬pq)
p q p pq
ددندد
دنننن
ندددد
ننددد

جدول درستی برای توابع پرکاربرد

در زیر جدول درستی برای 6 تابع پرکاربرد امده است.

ددددندددد
دننددنندن
ندنددندنن
ننننندددد

کاربرد جدول درستی در مدارهای منطقی

در مدارهای منطقی از جدول درستی استفاده می‌کنند تا ارتباط ورودی وو خروجی‌ها را به‌طور خلاصه و بدون استفاده از گیت‌ها و کد نشان دهند. برای مثال جدول درستی برای جمع دو عدد باینری یک بیتی در زیر امده است:

A B | C R
1 1 | 1 0
1 0 | 0 1
0 1 | 0 1
0 0 | 0 0

where

A = عملوند اول
B = عملوند دوم
C = نقلی  (Carry)
R = جواب 

توجه کنید که این جدول توابع لازم برای پیاده‌سازی را نشان نمی‌دهد و فقط ارتباط ورودی و خروجی را مشخص می‌کند.

در این حالت می‌توان آن را فقط برای ورودی‌های ساده و خروجی مانند 1 و 0 استفاده کرد و با افزایش تعداد ورودی و خروجی اندازه جدول افزایش می یابد.

مثال بالا را یک نیم جمع‌کننده می نامند. یک تمام جمع‌کننده علاوه بر ورودی‌های بالا یک نقلی ورودی C* نیز دارد. جدول درستی آن به صورت زیر است:

A B C* | C R
0 0 0  | 0 0
0 1 0  | 0 1
1 0 0  | 0 1
1 1 0  | 1 0
0 0 1  | 0 1
0 1 1  | 1 0
1 0 1  | 1 0
1 1 1  | 1 1

C* = زقم نقلی وروردی 

جستارهای وابسته

منابع

    در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ جدول ارزش موجود است.
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.