منطق موجهات

منطق موجهات (به انگلیسی: modal logic) که نوعی منطق صوری است که ابتدا در دهه ۶۰ میلادی گسترش یافت، منطق گزاره‌ها و منطق محمولات را به گونه‌ای گسترش می‌دهد که شامل اُپراتورهایی برای تبیین وجهیت باشند. یک موجهه - واژه‌ای برای تبیین وجهیت - جهت دهندهٔ یک اظهار است. برای مثال اظهار «جان خوشحال است» می‌تواند اینطور تعبیر شود که جان معمولاً خوشحال است؛ در آن صورت، عبارت «معمولاً» به عنوان یک موجهه عمل می‌کند. موجهات آلِتیکِ سنتی یا موجهات صدق، شامل امکان («امکاناً p»، «این امکان وجود دارد که p»)، ضرورت («ضرورتاً p»، «واجب است که p») و عدم امکان («به طرزی غیرممکن، p» «غیر ممکن است که p») هستند.[1] دیگر وجهیاتی که در منطق موجهات صوری سازی شده‌اند، از جمله می‌توان به موجهات زمانی (به ویژه «این طور بود که p»، «همواره این بوده‌است که p»، «این خواهد بود که p»، «همیشه اینگونه خواهد بود که p")[2][3] موجهات دیانتیک یا منطق موجهات فقهی (به‌طور خاص، «واجب است که p» و «مجاز است که p»)، موجهات معرفتی یا موجهات دانش («اینگونه شناخته شده‌است که p")[4] و موجهات دوکزاتیک یا موجهات باورپذیری («باور بر این است که p») اشاره کرد.[5]

یک منطق وجهی صوری، وجهیات را با استفاده از عملگرهای وجهی نمایش می‌دهد. برای نمونه «ممکن است امروز باران بیاید» و «این امکان هست که امروز باران بیاید» هر دو حاوی مفهوم امکان هستند. در منطق موجهات این مسئله به عنوان یک اپراتور، یعنی «امکاناً»، به جملهٔ «امروز باران خواهد بارید» متصل می‌شود.

عملگرهای وجهی مقدماتی تک متغیره معمولاً با «□» برای «ضرورتاً» و «◇» برای «امکاناً» نوشته می‌شوند. در یک منطق وجهی کلاسیک، هر کدام از این‌ها می‌تواند با استفاده از دیگری و به کمک عمل نفی بازنویسی شود:

${\displaystyle \Diamond P\leftrightarrow \lnot \Box \lnot P;}$

${\displaystyle \Box P\leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot P.}$

بنابراین ممکن است که امروز باران بیاید اگر و تنها اگر ضروری نباشد که امروز باران نیاید؛ و ضروری است که امروز باران بیاید اگر و تنها اگر ممکن نباشد که امروز باران نیاید. نمادهای جایگزین مورد استفاده برای اپراتورهای وجهی، «L» برای «ضرورتاً» و «M» برای «امکاناً» است.[6]

معناشناسی

نظریه مدل

معناشناسی منطق موجهات معمولاً به‌صورت زیر داده می‌شوند:[7] ابتدا یک قاب را تعریف می‌کنیم که متشکل از یک مجموعه ناتهی G است که اعضای آن عموماً جهان‌های ممکن نامیده می‌شوند، و یک رابطه دوتایی R که بین جهان‌هایی از G برقرار است (یا نیست). این رابطه دوتایی را رابطه دسترس‌پذیری گویند. برای مثال w R u بدان معنی است که جهان u از جهان w دسترس‌پذیر است. به عبارتی، وضعیت اموری که به عنوان u می‌شناسیم، یک امکان زنده برای w است. این یک زوج ${\displaystyle \langle G,R\rangle }$ برخی از طرز نمایش‌ها از منطق موجهات، دارای یک ثابتِ در G موسوم به «جهان واقع» نیز هستند است که اغلب با نماد ${\displaystyle w*}$ نشان داده می‌شود.

سپس با مشخص کردنارزش صدق همه گزاره‌ها در هر یک از جهان‌های G، قاب را به یک مدل تعمیم می‌دهند. این کار را با تعریف یک رابطه v بین جهان‌های ممکن و گزاره‌های مثبت انجام می‌دهیم. اگر یک جهان w موجود باشد که چنین است که ${\displaystyle v(w,P)}$، در آنصورت P در w درست است. یک مدل، بنابراین یک سه تایی مرتب ${\displaystyle \langle G,R,v\rangle }$ است.

سپس صدق یک فرمول در یک جهان از مدل را به نحوی بازگشتی و به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم.

• اگر ${\displaystyle v(w,P)}$ آنگاه ${\displaystyle w\models P}$
• ${\displaystyle w\models \neg P}$ اگر و تنها اگر ${\displaystyle w\not \models P}$
• ${\displaystyle w\models (P\wedge Q)}$ اگر و تنها اگر ${\displaystyle w\models P}$ و ${\displaystyle w\models Q}$
• ${\displaystyle w\models \Box P}$ اگر و تنها اگر برای یک عنصر u از G، اگر w R u آنگاه ${\displaystyle u\models P}$
• ${\displaystyle w\models \Diamond P}$ اگر و تنها اگر برای یک عنصر u از G،اینطور باشد که w R u و ${\displaystyle u\models P}$
• ${\displaystyle \models P}$ اگر و تنها اگر ${\displaystyle w*\models P}$

بر طبق این معناشناسی، یک حقیقت نسبت به یک جهان ممکن w ضروریست، اگر در هر جهان که از سوی w در دسترس است، برقرار باشد؛ و ممکن است، اگر در یک جهان که از w در دسترس است، برقرار باشد. امکان، در نتیجه بستگی به رابطه دسترس‌پذیری R دارد که به ما اجازه می‌دهد طبیعت نسبیِ امکان را تببین کنیم. برای مثال ما ممکن است بگوییم که با توجه به قوانین فیزیک، ممکن نیست انسان با سرعتی بیشتر از سرعت نور سفر کند، اما اگر شرایط دیگری حاکم بود، شاید چنین چیزی ممکن می‌شد. با استفاده از رابطه دسترس‌پذیری، می‌توان این سناریو را به شرح زیر ترجمه کرد: در تمامی جهان‌های قابل دسترس از جهان ما، چنین نیست که انسان‌ها بتوانند سریعتر از سرعت نور حرکت کنند، اما جهان قابل دسترس دیگری، از آن جهان‌ها قابل دسترس است که از جهانِ خود ما در دسترس نیست، اما در آن، انسان‌ها می‌توانند با سرعت بیش از نور حرکت کنند.

همچنین باید توجه کرد که تعریف □ باعث می‌شود برخی جملات به طرز پوچی درست باشند؛ چرا که وقتی از «هر جهانی که در دسترس w است» صحبت می‌کند، تعبیر ریاضیاتی واژه «هر» را تضمینی می‌گیرد. (نگاه کنید به درستی پوچ). از این رو اگر جهان w به هیچ جهان دیگری دسترسی نداشته باشد، هر جمله آغاز شونده با □ درست است.

سیستم‌های مختلف منطق موجهات، به واسطه ویژگی‌های روابط دسترسی پذیری متناظرشان از هم متمایز می‌شوند. چندین سیستم مطرح شده‌اند (اغلب به نام شرایط قاب). یک رابطه دسترسی پذیری:

• بازتابی است اگر و تنها اگر w R wبرای هر w در G.
• متقارن است اگر و تنها اگر w R u نتیجه دهد u R w برای هر w و u در G.
• متعدی است اگر و تنها اگر w R u و u R q با همدیگر نتیجه دهند w R q برای هر w, R, q در G.
• سری است اگر و تنها اگر برای هر w در G وجود داشته باشد یک u در G به‌طوری‌که w R u.
• اقلیدسی است اگر و تنها اگر برای هر t ،u و w، اینکه w R u و w R t نتیجه دهد u R t (توجه داشته باشید که این همچنین نتیجه می‌دهد: t R u)

منطق‌هایی که از این شرایط قاب‌ها منجر می‌شوند، عبارتند از:

• K := بدون شرط
• D := سری
• T := بازتابی
• S4 := بازتابی و متعدی
• S5 := بازتابی و اقلیدسی

خاصیت اقلیدسی به همراه بازتابی، تقارنی و تعدی را نتیجه می‌دهند. (همچنین خاصیت اقلیدسی می‌تواند از تقارنی و تعدی بدست آید) از این رو اگر رابطه دسترسی پذیری R بازتابی و اقلیدسی باشد، ثابت می‌شود که R متقارن و متعدی نیز هست؛ لذا برای مدل‌های S5، رابطه R یک رابطه هم‌ارزی است؛ چرا که R بازتابی، متقارن و متعدی است.

می‌توان ثابت کرد که این قاب همان مجموعه از جملات معتبر را اثبات می‌کند که قابهایی که در آنها، همه جهان‌ها، دیگر جهان‌های W را می‌بینند (یعنی، R یک رابطه «تام» است) است. این، گراف وجهی را بدست می‌دهد که تماماً کامل است (یعنی یال (روابط) بیشتری نمی‌تواند اضافه شود). برای مثال در هر منطق وجهی مبتنی بر شرایط قاب:

${\displaystyle w\models \Diamond P}$ اگر و تنها اگر برای عنصری چون u از G، اینگونه باشد که ${\displaystyle u\models P}$ و w R u.

اگر قاب مبتنی بر رابطه تام را در نظر بگیریم، تنها می‌توان گفت

${\displaystyle w\models \Diamond P}$ اگر و تنها اگر برای از عنصری چون u از G، اینگونه باشد که ${\displaystyle u\models P}$.

می‌توانیم بند دسترسی پذیری را از شرط دومی نادیده بگیریم چون در چنین قاب‌های تامی، برای هر w و u ای بدیهیست که w R u. اما توجه داشته باشید که این در مورد همه قاب‌های S5 برقرار نیست، چرا که می‌توانند شامل چند بخش باشند که به‌طور کامل با هم در ارتباطند، اما با این حال از یکدیگر مجزا هستند.

همه این سیستم‌های منطقی را می‌تواند به صورت اصل موضوعی تعریف کرد، آنگونه که در بخش بعدی نشان داده شده. برای نمونه، در S5 اصول موضوعه ${\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}$, ${\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P}$ و ${\displaystyle \Box P\implies P}$ (متناظر با تقارنی، تعدی و بازتابی) برقرارند، در حالی که حداقل یکی از این اصول موضوعه در هر یک از دیگر منطقهای ضعیف تر برقرار نیست.

سیستم‌های اصل موضوعه‌ای

نخستین صوری سازی‌ها از منطق موجهات، اصل موضوعه‌ای بودند. از زمانی که سی. آی. لویس در سال ۱۹۱۰ بر روی این زمینه شروع به کار کرد، جایگزین‌های متعدد با خواص بسیار متفاوتی ارائه شده‌است. هیوز و کرسول (۱۹۹۶) به عنوان مثال، ۴۲ منطق وجهی نرمال و ۲۵ مورد غیر نرمال را توصیف می‌کنند. زیمان (۱۹۷۳) برخی از سیستم‌هایی را که هیوز و کرسوِل به آن‌ها نپرداخته‌اند را مطرح می‌کند.

نگرش‌های مدرن از منطق موجهات با افزودن دو عملگر منفرد به حساب گزاره‌ها آغاز می‌شود، یکی دال بر «ضرورت» و دیگر بر «امکان» است. نمادگذاری لویس، که از آن زمان بسیار به کار می‌رود، توسط یک پیشوند «جعبه» (p□) که محدوده اش با پرانتز مشخص شده‌است، به «ضرورتاً p» اشاره می‌شود. به همین ترتیب، یک «الماس» (یا دیاموند) پیشوندیِ (p◇)، نشان دهنده «امکاناً p» است. بدون در نظر گرفتن نماد، هر یک از این اپراتورها در منطق موجهات کلاسیک در غالب دیگری تعریف پذیر است:

• p□ (ضرورتاً p) معادل است با ¬◇¬p («ممکن نیست که p برقرار نباشد»)
• p◇(امکاناً p) معادل است با ¬□¬p («نه ضرورتاً نقیض p»)

از این رو □ و ◇ یک جفت اپراتورهای دوگان را تشکیل می‌دهند.

در بسیاری از منطق‌های موجهات، اپراتورهای ضرورت و امکان مشابه زیر از قوانین دمورگان در جبر بولی را ارضاء می‌کنند:

«ضروری نیست که X» از نظر منطقی با «ممکن است که نقیض X» هم‌ارز است.

«ممکن نیست که X» از نظر منطقی با «ضروریست که نقیض X» هم‌ارز است.

اینکه دقیقاً چه اصول موضوعه و قواعدی باید به حساب گزاره‌ها اضافه شود تا یک سامانه به دردبخور از منطق موجهات داشته باشیم، بحثی فلسفیست که اغلب بر اساس قضایایی که افراد مایلند ثابت کنند، برانگیخته می‌شود؛ یا در علوم کامپیوتر، وابسته به نوع محاسبات یا سیستم استنتاجی ایست که افراد مایلند مدل‌سازی کنند. بسیاری از منطقهای وجهی، که مجموعاً تحت عنوان منطقهای وجهی نرمال شناخته می‌شوند، شامل قاعده و اصل زیر هستند:

• N، قاعده ضرورت: اگر p یک قضیه (از هر سیستم استنادکننده به N) باشد، آنگاه p□ نیز مشابهاً یک قضیه است.
• K، اصل توزیع: □(p → q) → (□p → □q).

ضعیف‌ترین منطق وجهی نرمال، که به افتخار سول کریپکی (به انگلیسی: Saul Kripke) به K نامگذاری شده است، به بیانی ساده، همان منطق گزاره‌ای بعلاوهٔ □، قاعده N و اصل K است. K ضعیف است، به این معنی که قادر به تشخیص اینکه آیا یک گزاره ضروریست است یا وجهاً ضروری، نیست. در واقع، اینکه اگر p□ درست باشد آنگاه p□□ درست است، یک قضیه در K نیست؛ یعنی اینکه حقایق ضروری «الزاماً ضروری»اند. اگر چنین سرگشتی‌هایی خیالات و ساختگی اند، این نقصِ K نقصی بزرگ نیست. در هر صورت پاسخ‌های متفاوت به اینگونه سوالات، منجر به سیستم‌های مختلف از منطق می‌گردند.

اضافه کردن اصول موضوعه به K، منجر به دیگر سیستم‌های وجهی معروف می‌گردند. در K نمی‌توان ثابت کرد که اگر گزاره «p ضروری است» صادق باشد، آنگاه p صادق است. اصل T برای درمان این نقص ارائه شده‌است:

• T، اصل بازتابی: □p → p (اگر p ضروری باشد، آنگاه p برقرار است)

T در اکثر، و نه همهٔ منطقهای وجهی برقرار است. منبع Zeman (1973) چند مورد استثنا مانند S1⁰ را توصیف می‌کند.

دیگر اصول موضوعه مقدماتی معروف، عبارتند از:

• 4: ${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$
• B: ${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$
• D: ${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$
• 5: ${\displaystyle \Diamond p\to \Box \Diamond p}$

این‌ها منجر به سیستم‌هایی می‌شوند (اصول موضوعه، پر رنگ (bold) شده‌اند و سیستم‌ها کج نوشته شده‌اند (italic):

• K := K + N
• T := K + T
• S4 := T + 4
• S5 := S4 + 5
• D := K + D.

K تا S5، سلسله‌ای تو در تو از سیستم‌ها را می‌سازند که هستهٔ منطقهای وجهی نرمال را تشکیل می‌دهند. اما قوانین یا مجموعه‌ای از قوانین خاص ممکن است مناسب سیستم‌های خاص باشند. برای مثال در منطق فقه، ${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$ (اگر واجب است که p، در آنصورت مجاز است که p) مناسب به نظر می‌رسد، اما احتمالاً نباید ${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$ را در آن گنجاند. در واقع، انجام این کار یعنی مرتکب شدن به مغالطه طبیعت (یعنی بیان اینکه آنچه طبیعیست، خوب هم هست؛ با گفتن اینکه که اگر p درست است p باید مجاز باشد).

سیستمِ فعلاً مورد استفادهٔ S5، به بیانی ساده، همه حقایق وجهی را ضروری می‌داند. برای مثال اگر p ممکن باشد، در آنصورت «ضروریست» که ممکن باشد. همچنین اگر p ضروری باشد، ضروریست که p ضروری باشد. دیگر سیستم‌های منطق وجهی نیز فرموله شده‌اند؛ جزئاً به این خاطر که S5 همهٔ وجهیات مورد علاقه را توصیف نمی‌کند.

نظریه اثبات ساختاری

حساب دنباله‌ای و سیستم‌های استنتاج طبیعی، برای چندین منطق وجهی توسعه یافته‌اند، اما ثابت شده که ترکیب جامعیت و دیگر ویژگی‌های خوب مورد انتظار از نظریات اثبات ساختاری مانند خلوص (اینکه نظریه اثبات، مفاهیمی فرا-منطقی مانند برچسب‌ها را تولید نکند) و تحلیلی بودن (اینکه قواعد منطقی، یک اثبات تحلیلی شفاف را حمایت کنند)، دشوار است. برای بدست آوردن جامعیت، حساب پیچیده تری بر روی منطق موجهات به کار گرفته شده‌است.

روش‌های تصمیم‌گیری

تابلو تحلیلی، محبوب‌ترین روش تصمیم را برای منطقهای وجهی فراهم می‌کنند.

مناقشات

نیکولاس رشر استدلال کرده که برتراند راسل، منطق موجهات را رد کرده و این امر، برای چند دهه منجر به بی اشتیاقی به تئوری منطق موجهات شده‌است.[8] اما ژان دژنوسکا خلاف این دیدگاه را باور دارد، که می‌گوید یک سیستم موجهاتی که دژنوسکا آن را MDL می‌نامد، در کارهای راسل شرح داده شده‌است؛ هر چند راسل بر این باور بود که مفهوم وجهیت از «خلط بین گزاره‌ها و گزاره‌نماها» می‌آیند، آنگونه که او در تحلیل موضوع می‌نویسد.[9]

آرتور نورمن پرایور به دست پرورده‌اش روث بارکن هشدار داد که خود را برای مناظرات با ویلارد ون اورمان کواین در مورد منطق موجهات دارای سور آماده کند، با توجه به تعصباتی که وی در برابر منطق موجهات داشت.[10]

جستارهای وابسته

• رابطه دسترسی پذیری
• نظریه همتا
• دیوید لوئیس (فیلسوف)
• د دیکتو و د ر
• منطق توصیفی
• منطق دوکزاتیک
• منطق پویا
• منطق هیبرید
• جبر درون
• منطق تفسیرپذیری
• معناشناسی کریپکی
• فعل وجهی
• منطق‌های چندارزشی
• جهان ممکن
• منطق اثبات
• منطق وجهی منظم
• منطق ربط
• انجمن ماکس پلانک
• بلاغت
• استلزام اکید
• دوبعدی گری

یادداشت

1. "Formal Logic", by A. N. Prior, Oxford Univ.
2. "Temporal Logic", by Rescher and Urquhart, Springer-Verlag, 1971, p. 52
3. "Past, Present and Future", by A. N. Prior, Oxford Univ.
4. "Knowledge and Belief", by Jaakko Hinntikka, Cornell Univ.
5. "Topics in Philosophical Logic", by N. Rescher, Humanities Press, 1968, p. 41
6. So in the standard work A New Introduction to Modal Logic, by G. E. Hughes and M. J. Cresswell, Routledge, 1996, passim.
7. Fitting and Mendelsohn.
8. Rescher, Nicholas (1979). "Russell and Modal Logic". In George W. Roberts. Bertrand Russell Memorial Volume. London: George Allen and Unwin. p. 146.
9. Dejnozka, Jan (1990). "Ontological Foundations of Russell's Theory of Modality" (PDF). Erkenntnis. 32: 383–418. doi:10.1007/bf00216469. Retrieved 2012-10-22.
10. "Modalities: Philosophical Essays", by Ruth Barcan Marcus, Oxford Univ.

منابع

• This article includes material from the Free On-line Dictionary of Computing, used with permission under the GFDL.
• Barcan-Marcus, Ruth JSL 11 (1946) and JSL 112 (1947) and "Modalities", OUP, 1993, 1995.
• Beth, Evert W. , 1955. "Semantic entailment and formal derivability", Mededlingen van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeling Letterkunde, N.R. Vol 18, no 13, 1955, pp 309–42. Reprinted in Jaakko Intikka (ed.) The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, 1969 (Semantic Tableaux proof methods).
• Beth, Evert W. , "Formal Methods: An Introduction to Symbolic Logic and to the Study of Effective Operations in Arithmetic and Logic", D. Reidel, 1962 (Semantic Tableaux proof methods).
• Blackburn, P. ; van Benthem, J. ; and Wolter, Frank; Eds. (2006) Handbook of Modal Logic. North Holland.
• Blackburn, Patrick; de Rijke, Maarten; and Venema, Yde (2001) Modal Logic. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80200-8
• Chagrov, Aleksandr; and Zakharyaschev, Michael (1997) Modal Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-853779-4
• Chellas, B. F. (1980) Modal Logic: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN 0-521-22476-4
• Cresswell, M. J. (2001) "Modal Logic" in Goble, Lou; Ed. , The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Basil Blackwell: 136–58. ISBN 0-631-20693-0
• Fitting, Melvin; and Mendelsohn, R. L. (1998) First Order Modal Logic. Kluwer. ISBN 0-7923-5335-8
• James Garson (2006) Modal Logic for Philosophers. Cambridge University Press. ISBN 0-521-68229-0. A thorough introduction to modal logic, with coverage of various derivation systems and a distinctive approach to the use of diagrams in aiding comprehension.
• Girle, Rod (2000) Modal Logics and Philosophy. Acumen (UK). ISBN 0-7735-2139-9. Proof by refutation trees. A good introduction to the varied interpretations of modal logic.
• Goldblatt, Robert (1992) "Logics of Time and Computation", 2nd ed. , CSLI Lecture Notes No. 7. University of Chicago Press.
• —— (1993) Mathematics of Modality, CSLI Lecture Notes No. 43. University of Chicago Press.
• —— (2006) "Mathematical Modal Logic: a View of its Evolution", in Gabbay, D. M. ; and Woods, John; Eds. , Handbook of the History of Logic, Vol. 6. Elsevier BV.
• Goré, Rajeev (1999) "Tableau Methods for Modal and Temporal Logics" in D'Agostino, M. ; Gabbay, D. ; Haehnle, R. ; and Posegga, J. ; Eds. , Handbook of Tableau Methods. Kluwer: 297–396.
• Hughes, G. E. , and Cresswell, M. J. (1996) A New Introduction to Modal Logic. Routledge. ISBN 0-415-12599-5
• Jónsson, B. and Tarski, A., 1951–52, "Boolean Algebra with Operators I and II", American Journal of Mathematics 73: 891–939 and 74: 129–62.
• Kracht, Marcus (1999) Tools and Techniques in Modal Logic, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics No. 142. North Holland.
• Lemmon, E. J. (with Scott, D.) (1977) An Introduction to Modal Logic, American Philosophical Quarterly Monograph Series, no. 11 (Krister Segerberg, series ed.). Basil Blackwell.
• Lewis, C. I. (with Langford, C. H.) (1932). Symbolic Logic. Dover reprint, 1959.
• Prior, A. N. (1957) Time and Modality. Oxford University Press.
• Snyder, D. Paul "Modal Logic and its applications", Van Nostrand Reinhold Company, 1971 (proof tree methods).
• Zeman, J. J. (1973) Modal Logic. Reidel. Employs Polish notation.
• History of logic, Encyclopædia Britannica.

جستارهای وابسته

• Ruth Barcan Marcus Modalities, OUP 1993.
• D.M. Gabbay, A. Kurucz, F. Wolter and M. Zakharyaschev, Many-Dimensional Modal Logics: Theory and Applications, Elsevier, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, volume 148, 2003, ISBN 0-444-50826-0. Covers many varieties of modal logics, e.g. temporal, epistemic, dynamic, description, spatial from a unified perspective with emphasis on computer science aspects, e.g. decidability and complexity.
• Andrea Borghini, A Critical Introduction to the Metaphysics of Modality, New York, Bloomsbury, 2016.

پیوند به بیرون

• Internet Encyclopedia of Philosophy:
  • "Modal Logic: A Contemporary View" – by Johan van Benthem.
  • "Rudolf Carnap's Modal Logic" – by MJ Cresswell.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • "Modal logic" – by James Garson.
  • "Provability Logic" – by Rineke Verbrugge.
• Edward N. Zalta, 1995, "Basic Concepts in Modal Logic."
• John McCarthy, 1996, "Modal Logic."
• Molle a Java prover for experimenting with modal logics
• Suber, Peter, 2002, "Bibliography of Modal Logic."
• List of Logic Systems List of many modal logics with sources, by John Halleck.
• Advances in Modal Logic. Biannual international conference and book series in modal logic.
• S4prover A tableaux prover for S4 logic
• "Some Remarks on Logic and Topology" – by Richard Moot; exposits a topological semantics for the modal logic S4.
• LoTREC The most generic prover for modal logics from IRIT/Toulouse University