اصل موضوع گسترش

اصل موضوع تساوی یا به عبارات ضعیف‌تر و دورتر اصل موضوع گسترش یا اصل موضوع هم‌مصداقی (Axiom of extensionality) یکی از اصول موضوع زرملو - فرنکل است، که به نظریهٔ اصل موضوعی مجموعه‌ها تعلق داشته، و در شاخه‌هایی از منطق، ریاضیات، و علوم کامپیوتر مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مقدمه

اصطلاح اصل موضوع تساوی یک اصل از نظریه مجموعه است که توسط ریچارد ددکیند در سال 1888 فرموله شده‌است، و تنها بیان می‌کند که دو کلاس یا مجموعه یکسان هستند اگر و فقط اگر شامل اعضای یکسان باشند. از آنجایی که ارنست زرملو اصل موضوع تساوی را از ریچارد دادکیند گرفته‌است و به عنوان اولین اصل موضوع مجموعه موضوعی زرملو قرارداده است که سایر اصل موضوعات مجموعه زرملو / فرانکل از آن نشات می‌گیرند احتمال خلط ترجمه گسترش وجود دارد. در حالی که هیج موضوعیت گسترش چیزی از آن بر نمی‌آید.

در منطق سنتی و کلاسیک مفهوم Extension یا Extensionality به موضوعی اشاره می شود که شامل بعد مفهومی برای کلیت یک چیز است یا اصطلاحات اغلب به عنوان پیش فرض‌های کلی برای پوشش تمام موضوع به کار می رود.

یکی از مفاهیم اصلی در نظریهٔ مجموعه‌ها که در بررسی‌های کاملاً اصل موضوعی از جمله عمده‌ترین مفاهیم اولیه و تعریف نشده محسوب می‌شود مفهوم تعلق یا عضویت است. اگر A یک مجموعه باشد و x متعلق A باشد (x عنصر A است یا A شامل x است) می‌نویسیم x ∈ A. نماد نماد عضویت است و برگرفته از حرف یونانی ε (اپسیلون) است و توسط پئانو مورد استفاده قرار گرفته شده‌است.

یکی از روابط مهم میان مجموعه‌ها که تا حدی مقدماتی تر از تعلق است، تساوی دو مجموعه است. اگر دو مجموعه A و B باشند می‌نویسیم A = B و در غیر این صورت می‌نویسیم A ≠ B.

  • حال این سؤال پیش می‌آید که چه هنگام دو مجموعه را مساوی می‌گوییم؟

برای پاسخ به این سؤال اصل موضوعی بنا می‌کنیم که به درستی رابطه بین تساوی و تعلق را در مجموعه‌ها نشان می‌دهد.

اصل موضوع گسترش

مطابق اصل موضوع گسترش

به عبارت دیگر این اصل بیان می‌کند، دو مجموعه با هم برابرند اگر و فقط اگر دارای عناصر یکسان باشند.

این اصل نشان می‌دهد هر مجموعه با مصداقیت خود (اعضای خود) دقیقاً مشخص می‌شود. همچنین با توجه به مفهوم زیرمجموعه می‌توان اصل موضوع گسترش را به گونه‌ای دیگر فرمول بندی نمود.

می‌دانیم که اگر مجموعه A زیرمجموعه، مجموعه B باشد می‌نویسیم A ⊆ B و این بدان معنی است که هر عضو A، متعلق به B نیز می‌باشد. حال اگر برای هر دو مجموعه دلخواه A و B داشته باشیم A ⊆ B و B ⊆ A آنگاه بدیهی است که طبق تعریف هر عضو A در B و هر عضو B در A موجود است و لذا اعضای A و B یکسان هستند. پس:

دو مجموعه باهم مساوی‌اند اگر و فقط اگر هر یک زیر مجموعه دیگری باشد. به عبارت دیگر اگر A و B دو مجموعه باشند A = B اگر و فقط اگر A ⊆ B و B ⊆ A

پس اصل موضوع گسترش به ما کمک می‌کند که بدانیم چه موقع دو مجموعه با هم برابرند. با توجه به این اصل همواره اثبات تساوی دو مجموعه به دو بخش تقسیم می‌شود که باید در هر قسمت نشان دهیم هر یک از مجموعه‌ها زیرمجموعه دیگری است.

جستارهای وابسته

منابع
    • پل ریچارد هالموس (۱۳۷۳)، نظریه طبیعی مجموعه ها، ترجمهٔ عبدالحمید دادالله، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۰۵۲-۸
    • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Axiom of extension». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۳ اوت ۲۰۰۷.

    پیوند به بیرون

    الگو:نظریه

    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.