عدد گنگ

عدد گُنگ یا اصم (به انگلیسی: Irrational number)، در دستگاه اعداد به‌صورت عددی حقیقی تعریف می‌شود که عدد نسبی (عدد گویا) نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری نوشت که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است. از معروفترین این اعداد می‌توان از φ، ${\displaystyle \pi }$، ${\displaystyle e}$ و ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ نام برد.[1][2][3]

در واقع عدد گنگ یا اصم، عدد اعشاری ای است که ارقام اعشاری آن بی پایان بوده و دوره گردش هم ندارد.

اعداد گنگ معروف

رادیکال دو

رادیکال دو

شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ بوده باشد. کشف این عدد منتسب به فیثاغورسیان (شاگردان فیثاغورس) است و گفته می‌شود در رقابت‌های علمی که در آن زمان بین گروه‌های مختلف در جریان بود این عدد نقش یک برگ برنده بزرگ را برای فیثاغورسیان ایفا می‌کرده‌است. این عدد طول قطر مربعی به ضلع واحد می‌باشد که به راحتی از رابطهٔ فیثاغورث ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ بدست می‌آید. در ریاضیات کلاسیک هم ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ رایج‌ترین گزینه برای اثبات وجود اعداد گنگ است. در واقع ثابت می‌شود که عدد گویایی موجود نیست که مربع آن برابر با ۲ شود. اهمیت کشف اعداد گنگ در آنجا بود که نوعی عدم قطعیت به ریاضیات می‌داد؛ بدین معنا که برخلاف ذات ریاضیات یعنی قطعی بودن آن در عمل، اعداد گنگ را نمی‌توان به‌طور قطعی بیان کرد مثلاً بسط اعشاری همین عدد ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ نامختوم و نامتناوب است و برای نمایش آن مجبوریم به چند رقم اعشار آن اکتفا کنیم و بقیه را نادیده بگیریم، مثلاً می‌نویسیم: ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.4142}$

نسبت طلایی

عدد فی

نسبت طلایی یا عدد فی در ریاضیات هنگامی است که «نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر» باشد. فی، نخستین حرف از نام «فیدیاس»، پیکرتراش زبدهٔ یونان باستان است که به احتمال زیاد این نسبت عددی را ده‌ها سال پیش از اقلیدس، در شیوهٔ هنری‌اش لحاظ می‌کرده‌است. بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی φ یا عدد فی را برای این عدد انتخاب کرده‌اند. مقدار عددی عدد طلایی برابر به‌طور تقریبی برابر است با ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷

مصریان، سال‌ها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد. دلیل این امر آن است که این نسبت در شبکیه چشم انسان رعایت شده و هر مستطیلی که این نسبت را دارا باشد به چشم انسان زیبا می‌آید.

عدد پی

عدد پی

عدد پی (۳٫۱۴۱۵ = π) از اعداد گنگ است. عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند ظاهر می‌شود. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (۳٫۱۲۵) و مصریان (۳٫۱۶۰۴) در ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است. همچنین در متون هندی این عدد ۳٫۱۳۹ تقریب زده شده که حدوداً تا دو رقم اعشار صحیح است. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد، ارشمیدس در قرن سه قبل از میلاد بود. او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی‌های منتظم و به کمک ۹۶ ضلعی منتظم عدد پی را ۳٫۱۴۱۹ تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است. همچنین دانشمندی چینی بنام زو چانگ ژی در قرن ۵ میلادی عدد پی را ۳٫۱۴۱۵۹۲۹۲ محاسبه کرد که تا ۶ رقم اعشار صحیح است. غیاث الدین جمشید کاشانی دانشمند و ریاضی دان ایرانی نیز عدد پی را تا 17 رقم اعشار بدست آورد که تنها در رقم هفدهم با محاسبات امروزی تفاوت داشت. تا هزاره دوم میلادی کمتر از ده رقم اعشار عدد پی به‌طور صحیح محاسبه شده بود (به کمک عدد پی تا ۱۱ رقم اعشار می‌توان محیط کره زمین را با دقت میلی‌متر تخمین زد). رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش سری‌های نامتناهی تخمین‌های بهتر و بهتری برای عدد پی بدست آمد، بطوریکه امروزه با استفاده از رایانه‌های شخصی می‌توان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد. اگر می‌خواهید عدد p را تا ده رقم اعشار به خاطر بسپارید تعداد حروف کلماتِ این شعر به شما کمک خواهد کرد: خرد و بینش و آگاهی دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد= ۳/۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵

عدد نپر

عدد نپر

از پرکاربردترین عددهای گنگ، عدد نپر (۲٫۷۱۸۲ = e) است. کشف این عدد منتسب به جان نپر، دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است. البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر، دانشمند سوئیسی، است. چه بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف e برای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده‌است. البته عده‌ای نیز می‌گویند این حرف نخستین حرف کلمهٔ نمایی (exponential) است. در واقع توابع نمایی به صورت f(x)=a^x هستند و در بین تمام اعداد حقیقی ممکنی که می‌توانند به‌جای a قرار گیرند عدد نپر تنها عددی‌است که باعث می‌شود تابع نمایی در نقطه صفر شیبی دقیقاً برابر با یک داشته باشد (مشتق تابع e^x برابر است با e^x و لذا شیب این تابع در صفر برابر است با e^0=۱). عدد نپر در جاهای دیگر هم ظاهر می‌شود. مثلاً فرض کنید در بانک مبلغ یک دلار قرار داده‌اید و بانک به شما ۱۰۰ درصد سود در سال پرداخت می‌کند یعنی در پایان سال شما دو دلار خواهید داشت (n=۱). حال اگر بانک به‌جای صد در صد در سال شش ماه اول ۵۰ درصد سود پرداخت کند (یک و نیم دلار در پایان شش ماه) و در شش ماه دوم نیز ۵۰ درصد سود پرداخت کند (به ازای یک و نیم دلار پس‌انداز شما) در پایان سال ۱٫۵+۰٫۷۵=۲٫۲۵ دلار خواهید داشت (n=۲). اگر این بار بانک هر سه ماه یک بار به شما ۲۵ درصد سود پرداخت کند در پایان سال مبلغ ۱٫۲۵+۰٫۳۱۲۵+۰٫۳۹۰۶۲۵+۰٫۴۸۸۲۸۱=۲٫۴۴۱۴۱ در حساب خود خواهید داشت (n=۴). اگر این روند ادامه پیدا کند یعنی بانک در تعداد دفعات بیشتری به شما سود کمتری پرداخت کند و این تعداد دفعات یعنی n به بی‌نهایت میل کند شما در پایان سال به اندازه ۲٫۷۱۸۲ = e دلار در بانک خواهید داشت. همچنین اگر احتمال برنده شدن شما در یک بازی n^ -1 باشد و شما این بازی را n بار انجام دهید و n به سمت بینهایت میل کند احتمال اینکه شما هر n بازی را ببازید برابر است با e^ -1.

جستارهای وابسته

طبقه‌بندی اعداد مختلط ${\displaystyle$ :\;\mathbb {C} } حقیقی ${\displaystyle$ :\;\mathbb {R} } گویا ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Q} } صحیح ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Z} } طبیعی ${\displaystyle$ :\;\mathbb {N} } یک: 1 اعداد اول اعداد مرکب صفر: 0 اعداد صحیح منفی کسری مختوم متناوب ساده مرکب گنگ اعداد گنگ جبری متعالی موهومی

منابع

1. The 15 Most Famous Transcendental Numbers. by Clifford A. Pickover. URL retrieved 24 October 2007.
2. http://www.mathsisfun.com/irrational-numbers.html بایگانی‌شده در ۲۹ اوت ۲۰۱۰ توسط Wayback Machine; URL retrieved 24 October 2007.
3. Weisstein, Eric W. "Irrational Number". MathWorld. URL retrieved 26 October 2007.