معادله سیاله

معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتین در ریاضیات معادله‌ای چند جمله‌ای با متغیرهای صحیح است که در آن معمولاً بیش از یک متغیر (مجهول) داشته باشیم. دستگاه معادلات دیوفانتی دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول‌ها از تعداد معادله‌ها بیشتر باشد.

مثلاً معادلهٔ ${\displaystyle x+y=2}$ را می‌توان به صورت ${\displaystyle y=2-x}$ نوشت. به ازای هر ${\displaystyle x}$ یک مقدار برای ${\displaystyle y}$ به دست می‌آید، این جوابها را می‌توان با زوج ${\displaystyle (x,2-x)}$ نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح باز جوابهای بیشمار دارد، اما این بار در زوج ${\displaystyle (x,2-x)}$ باید به جای ${\displaystyle x}$ اعداد طبیعی قرار دهیم (از این نظر نسبت به حالت اوّل جوابها محدودتر هستند) و سرانجام اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی پیدا می‌کند که در اینجا تنها جواب معادلهٔ ${\displaystyle x+y=2}$ در اعداد طبیعی (۱و۱) است.

در اینجا حل معادله‌های دیوفانتی در مجموعهٔ اعداد صحیح مورد نظر ماست و از این رو اگر در حالت کلی داشته باشیم ${\displaystyle ax+by=c}$ که در آن ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle c}$ اعداد صحیح و ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ نسبت به هم اوّل هستند، آنگاه ریشه‌های این معادله در مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نوشته می‌شود.

${\displaystyle y=y0+ak}$ و ${\displaystyle x=x0-bk}$

که در آن ${\displaystyle (x0,y0)}$ هر ریشه دلخواه معادله و (${\displaystyle k}$ عضو ${\displaystyle Z}$است).

مثلاً یکی از ریشه‌های معادله ${\displaystyle x+2y=5}$ عبارت است از (۲و۱) پس زوج ${\displaystyle (1-2k,2+k)}$ در ازای هر ${\displaystyle k}$ که ${\displaystyle k}$ عضو اعداد صحیح است، یک جواب از این معادله به دست می‌آید. ممکن است معادله دیوفانتی از درجات بالاتر باشد، در این صورت هم امکان دارد معادله جوابهای بیشمار یا متناهی داشته باشد.

مثال:معادله ${\displaystyle 3x+4y=25}$ را در مجموعه اعداد صحیح حل کنید.

حل:معادله را به صورت زیر می‌نویسیم:

${\displaystyle 3x=25-4y}$ ${\displaystyle x=(25-4y)/3=8+(1-4y)/3}$

چون x عدد صحیح است، بنابراین ${\displaystyle 8+(1-4y)/3}$ باید عدد صحیح باشد، دیده می‌شود که به ازای y=+۱ داریم x=۸–۱=۷ پس (۷٬۱) یکی از ریشه‌های معادله است و ریشه‌های دیگر معادله از زوج ${\displaystyle (x0-bk,y0+ak)}$ محاسبه می‌شود که در آن k عضو اعداد صحیح است. پس سایر جوابهای معادله عبارت‌اند از ${\displaystyle (7-4k,1+3k)}$ مثلاً بعضی از ریشه‌های آن عبارت‌اند از:

 k=۱ بنابراین (۴و۳)
 k=۲ بنابراین (۲-و۱۱)
 .
 .
 .
 k=۱۰۰ بنابراین (۳۰۱و۳۹۶-)

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Diophantine equation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ژانویه ۲۰۱۶.