چهارگان

چهارگان‌ها یا کواترنیون‌ها (Quaternion) یک سیستم عددنویسی هستند که به بسط اعداد مختلط می‌انجامند. چهارگان‌ها اولین بار توسط ویلیام روآن همیلتون در اکتبر سال ۱۸۴۳ ابداع و ارائه گردید و از آن پس این مفهوم در مکانیک و در فضای سه بعدی مورد استفاده قرار گرفته‌است.

از خواص چهارگان‌ها اینکه ضرب آن‌ها خاصیت جابجایی ندارند.

چهارگان‌ها معمولاً به صورت زیر مطرح می‌شوند: (که a, b و c اعداد حقیقی و i, j و k نیز واحدهای اصلی چهارگان را تشکیل می‌دهند و H ابتدای نام همیلتون است)

${\displaystyle H=a.1+b.i+c.j+d.k}$

جدول ضرب چهارگان (خاصیت جابجایی ندارد)

همیلتون در ۱۶ اکتبر ۱۸۴۳ زمانی که در طول کانال سلطنتی به سمت آکادمی ایرلند در حرکت بود، ایده چهارگان‌ها به ذهنش رسید. او به قدری از یافتهٰ خود خوشحال شد که فرمول ابتدایی آن را همان‌جا روی دیوار پل بروم (Broome Bridge) حک کرد به‌طوری‌که بعدها به این پل یک جنبه تاریخی خاص و در عین حال ارزشمند بخشید:[1]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,}$

پلاک یادبود ویلیام همیلتون بر روی دیوار پل بروم در دوبلین

از فرمول ابتدایی همیلتون، عبارتهای زیر به دست می‌آیند که معادل با ضرب برداری در فضای ۳ بعدی هستند. (قوانین همیلتون)

${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}}$

برخی از کاربردها

- بسیاری از فراکتالها در فضای چهارگان (کواترنیون)ها، توضیح داده می‌شوند.[2]

- کواترنیون‌ها عملاً در اثبات تئوری مجموع چهار مجذور لاگرانژ نیز بکار برده شده‌است. این تئوری بیان می‌کند هر عدد صحیح غیر منفی را می‌توان به صورت مجموع حداکثر چهار مجذور کامل نوشت:[3]

${\displaystyle 3=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}}$

${\displaystyle 31=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}}$

و در انتها جمله‌ای از سر ویلیام همیلتون:

گفته می‌شود زمان تنها یک بُعد دارد و فضا هم سه بُعد، کواترنیون ریاضیات هر دو عنصر را داراست: به زبان دقیق تر، گفته می‌شود «زمان به اضافه مکان» یا «مکان به اضافه زمان» و به این ترتیب به چهار بُعد ارجاع داده می‌شود.[4]

منابع

1. «Brougham Bridge». دریافت‌شده در ۲۰۱۷-۰۸-۰۵.
2. W., Weisstein, Eric. "Quaternion". Retrieved 2017-08-05.
3. W., Weisstein, Eric. "Lagrange's Four-Square Theorem". Retrieved 2017-08-05.
4. آی هوش. «چهارگان». http://www.ihoosh.ir/article/112659. بایگانی‌شده از اصلی در ۵ اوت ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۵ اوت ۲۰۱۷. پیوند خارجی در |وبگاه= وجود دارد (کمک)

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Quaternion». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
• دانش نامه ریاضی ولفرام
• آی هوش

پیوند به بیرون

• زندگینامهٔ همیلتون.
• چهارگان چیست؟