یک‌ریختی

در جبر مجرد، هر یک‌ریختی یا ایزومورفیسم، یک تابع دوسویی هم‌ریختی است. دو ساختار ریاضی را یک‌ریخت (ایزومورف) نامیم هرگاه یک یک‌ریختی بینشان باشد.

تعریف

فرض کنید ${\displaystyle (G,*)}$ و ${\displaystyle (G',*')}$ گروه باشند، تابع 'φ:  G → G را یک‌ریختی (ایزومورفیسم) گوییم هرگاه دوسویی (یک به یک و پوشا) باشد و

${\displaystyle \forall a,b\in G}$ ${\displaystyle \varphi (a*b)=\varphi (a)*'\varphi (b)}$

عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شدهٔ ${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$ می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در ${\displaystyle \varphi (ab)}$) در G است ولی حاصل‌ضرب ${\displaystyle \varphi (a)\varphi (b)}$ در 'G می‌باشد.

مثال‌ها

• فرض کنید (×,⁺R) گروه تمام اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب و (+,R) گروه تمام اعداد حقیقی تحت جمع باشد. تابع لگاریتم را با هر پایه ثابت b از ⁺R بروی (یعنی تابع پوشا است) R در نظر بگیرید. ${\displaystyle \log _{b}:\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} }$ از آنجایی که برای هر x و y عضو R داریم: ${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!}$ پس لگاریتم یک هم‌ریختی است و از آنجایی که یک به یک و پوشا نیز هست پس یک یک‌ریختی می‌باشد.
• Z تحت جمع و R تحت جمع یک‌ریخت نیستند، زیرا هیچ تابع یک‌به‌یکی از Z بروی R وجود ندارد.

قضیه‌ها

• هر گروه دوری نامتناهی G با گروه جمعی Z از اعداد صحیح یک‌ریخت است.
• قضیه کِیلی: هر گروه با گروهی از جایگشت‌ها یک‌ریخت (ایزومورف) است. این قضیه منسوب به آرتور کیلی، ریاضیدان انگلیسی است.

منابع

• فرالی، جان ب. (۱۳۸۳). بهزاد، مهدی، ویراستار. نخستین درس در جبر مجرد. اول. ترجمهٔ مسعود فرزان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۶۴-۰۱-۰۳۵۱-۹.
• هرشتاین، آی. ان. (۱۳۸۷). جبر مجرد. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۶۳۷۹-۰۲-۲.