گروه دوری

در جبر، گروه دوری گروهی است که توسط یک عضوش تولید می‌شود. به ازای هر عدد طبیعی n یک گروه دوری از مرتبهٔ n وجود دارد. هر دو گروه دوری متناهی هم‌مرتبه، یک‌ریخت هستند.

تعریف

به ازای گروه مفروض G و عضوی چون a از G اگر ${\displaystyle G=\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \}}$ آنگاه a را مولدی برای G و <G = <a را دوری می‌نامیم.

مثال‌ها

• در گروه {Z_۴ = {۰، ۱، ۲، ۳ داریم:

{۰} = <۰> {۰، ۱، ۲، ۳} = <۱> {۰،۲} = <۲> {۰، ۱، ۲، ۳} = <۳>

یعنی <Z_۴ = <۱> = <۳. بنابراین Z_۴ دوری است و هر یک از ۱ و ۳ یک مولد آن هستند.

• گروه چهارتایی کلاین دوری نیست.
• گروه Z تحت جمع، گروهی دوری است. هر دو ۱ و ۱- مولدهای گروه هستند.

قضیه‌ها

• فرض کنیم G یک گروه و a عضو G باشد. در اینصورت

${\displaystyle H=\{a^{n}|n\in \mathbb {Z} \}}$

زیر گروهی از G و کوچک‌ترین زیرگروه G شامل a است. بدین معنی که هر زیرگروه شامل a شامل H هم هست. H را زیرگروه دوری G شامل a می‌نامیم.

• هر گروه دوری آبلی است.
• هر زیرگروه یک گروه دوری، خود دوری است.
• مجموعهٔ {n-۱ , … , ۱، ۰} با عمل جمع به هنگ n گروهی دوری است دارای n عضو که با Z_n نمایش داده می‌شود.
• هر گروه دوری نامتناهی G با گروه جمعی Z از اعداد صحیح یک‌ریخت (ایزومورف) است.

جستارهای وابسته

• نظریه گروه‌ها

منابع

• فرالی، جان ب. (۱۳۸۳). بهزاد، مهدی، ویراستار. نخستین درس در جبر مجرد. اول. ترجمهٔ مسعود فرزان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۶۴-۰۱-۰۳۵۱-۹.