زیرگروه نرمال

در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال (به انگلیسی: Normal Subgroup) (که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود-الحاقی نیز می گویند)[1] زیرگروهی است که تحت مزدوج گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه ${\displaystyle N}$ از گروهی چون ${\displaystyle G}$ در ${\displaystyle G}$ نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام ${\displaystyle g\in G}$ و ${\displaystyle n\in N}$ نتیجه شود ${\displaystyle gng^{-}1\in N}$. نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال ${\displaystyle N\triangleleft G}$ است.

ساختار جبری ← نظریه گروه‌ها نظریه گروه‌ها
مفاهیم پایه زیرگروه زیرگروه نرمال گروه خارج قسمتی (نیم-)ضرب مستقیم همریختی‌های گروهی هسته تصویر جمع مستقیم ضرب تافته ساده متناهی نامتناهی پیوسته ضربی جمعی دوری آبلی چندوجهی پوچتوان حل‌پذیر واژه نامه نظریه گروه‌ها لیست موضوعات نظریه گروه‌ها
گروه‌های متناهی دسته بندی گروه‌های ساده متناهی دوری متناوب نوع لی اسپورادیک قضیه کوشی قضیه لاگرانژ قضیه‌های سیلو قضیه هال p-گروه گروه آبلی مقدماتی گروه فروبنیوس ضریب شور گروه سیمپلکتیک Sn چهار-گروه کلاین V گروه چندوجهی Dn گروه کواترنیون Q گروه دو-دوری Dicn
گروههای گسسته مشبکه‌ها اعداد صحیح (Z) گروه آزاد گروه‌های پیمانه‌ای PSL(2,Z) SL(2,Z) گروه حسابی مشبکه گروه هذلولوی
گروه‌های توپولوژیکی و لی سیم‎لوله دایره خطی عمومی GL(n) خطی خاص SL(n) متعامد O(n) اقلیدسی E(n) متعامد خاص SO(n) یکانی U(n) یکانی خاص SU(n) سیمپلکتیک Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 لورنتز پوانکاره همدیس دیفئومورفیسم کمان (حلقه) گروه لی بی نهایت بعدی O(∞) SU(∞) Sp(∞)
گروه‌های جبری گروه جبری خطی گروه تحویل یافته واریته آبلی خم بیضوی

زیرگروه‌های نرمال مهم اند، چرا که آن ها (و فقط آن ها) را می توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتی گروه داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه ‎های نرمال ${\displaystyle G}$ دقیقاً هسته های همریختی های گروهی با دامنه ${\displaystyle G}$ اند، لذا می توان از این زیر گروه ها به طور ذاتی برای طبقه بندی چنین همریختی هایی بهره جست.

اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه های نرمال شد.[2]

تعاریف

یک زیرگروه ${\displaystyle N}$ از ${\displaystyle G}$ را زیرگروه نرمال از ${\displaystyle G}$ گویند اگر تحت مزدوج گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از ${\displaystyle N}$ تحت عنصر دلخواهی از ${\displaystyle G}$ همیشه در ${\displaystyle N}$ قرار بگیرد.[3] نمادگذاری این رابطه ${\displaystyle N\triangleleft G}$ است.

شرایط معادل

برای هر زیرگروه ${\displaystyle N}$ از ${\displaystyle G}$، شرایط زیر معادل اند با این که ${\displaystyle N}$ زیر گروه نرمالی از ${\displaystyle G}$ باشد. بنابر این هر کدام از آن ها را می توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:

• تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) ${\displaystyle N}$ تحت هر عنصر ${\displaystyle G}$ زیر مجموعه ای از ${\displaystyle N}$ باشد.[4]
• تصویر تزویجی ${\displaystyle N}$ تحت هر عنصر ${\displaystyle G}$ برابر ${\displaystyle N}$ باشد.[4]
• برای تمام ${\displaystyle g\in G}$، همدسته های چپ و راست ${\displaystyle gN}$ و ${\displaystyle Ng}$ برابر باشند.[4]
• همدسته های چپ و راست ${\displaystyle N}$ در ${\displaystyle G}$ با هم یکی شوند.[4]
• ضرب یک عنصر از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle g}$ و یک عنصر از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle h}$، عنصری از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle gh}$ باشد: یعنی اگر ${\displaystyle \forall x,y,g,h\in G}$ از ${\displaystyle x\in gN}$ و ${\displaystyle y\in hN}$ نتیجه شود که ${\displaystyle xy\in (gh)N}$.
• ${\displaystyle N}$ برابر اجتماع رده های تزویجی ${\displaystyle G}$ باشد.[2]
• ${\displaystyle N}$ تحت درون ریختی های داخلی از ${\displaystyle G}$ حفظ شود.[5]
• همریختی گروهی چون ${\displaystyle G\rightarrow H}$ وجود دارد چنان که هسته آن ${\displaystyle N}$ باشد.[2]
• برای تمام ${\displaystyle n\in N}$ و ${\displaystyle g\in G}$، جابجاگر ${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$ در ${\displaystyle N}$ باشد.
• هر دو عنصر گروه ${\displaystyle G}$ در رابطه زیر صدق کنند:

${\displaystyle \forall g,h\in G,gh\in N\iff hg\in N}$

پانویس

1. Bradley 2010, p. 12.
2. Cantrell 2000, p. 160.
3. Dummit & Foote 2004.
4. Hungerford 2003, p. 41.
5. Fraleigh 2003, p. 141.

منابع

• Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 May 2010). "On Rubik's Cube" (PDF). KTH.
• Cantrell, C.D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
• Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraic Theory of Automata Networks. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
• Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
• Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer.
• Judson, Thomas W. (2020). Abstract Algebra: Theory and Applications.
• Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.
• Thurston, William (1997). Levy, Silvio, ed. Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
• Bradley, C. J. (2010). The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Norma Subgroup». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

پیوند به بیرون

• Weisstein, Eric W. "normal subgroup". MathWorld.
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
• John Baez, What's a Normal Subgroup?