زیرگروه

در نظریه گروه‌ها، اگر زیر مجموعهای از گروه G مانند H تحت عمل دوتایی تعریف شده بر G بسته بوده و خود H با آن عمل تعریف شده بر گروه G، گروه باشد آنگاه گوییم H زیرگروه G است.

ساختار جبری ← نظریه گروه‌ها نظریه گروه‌ها
مفاهیم پایه زیرگروه زیرگروه نرمال گروه خارج قسمتی (نیم-)ضرب مستقیم همریختی‌های گروهی هسته تصویر جمع مستقیم ضرب تافته ساده متناهی نامتناهی پیوسته ضربی جمعی دوری آبلی چندوجهی پوچتوان حل‌پذیر واژه نامه نظریه گروه‌ها لیست موضوعات نظریه گروه‌ها
گروه‌های متناهی دسته بندی گروه‌های ساده متناهی دوری متناوب نوع لی اسپورادیک قضیه کوشی قضیه لاگرانژ قضیه‌های سیلو قضیه هال p-گروه گروه آبلی مقدماتی گروه فروبنیوس ضریب شور گروه سیمپلکتیک Sn چهار-گروه کلاین V گروه چندوجهی Dn گروه کواترنیون Q گروه دو-دوری Dicn
گروههای گسسته مشبکه‌ها اعداد صحیح (Z) گروه آزاد گروه‌های پیمانه‌ای PSL(2,Z) SL(2,Z) گروه حسابی مشبکه گروه هذلولوی
گروه‌های توپولوژیکی و لی سیم‎لوله دایره خطی عمومی GL(n) خطی خاص SL(n) متعامد O(n) اقلیدسی E(n) متعامد خاص SO(n) یکانی U(n) یکانی خاص SU(n) سیمپلکتیک Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 لورنتز پوانکاره همدیس دیفئومورفیسم کمان (حلقه) گروه لی بی نهایت بعدی O(∞) SU(∞) Sp(∞)
گروه‌های جبری گروه جبری خطی گروه تحویل یافته واریته آبلی خم بیضوی

تعریف

فرض کنید (• , G) گروه باشد. زیرمجموعهٔ H از G را زیرگروه G گوییم اگر (• , H) گروه باشد. در اینصورت می‌نویسیم H ≤ G یا G ≥ H. همچنین H <G یا G> H به این معناست که H ≤ G و H ≠ G.

زیرگروه‌های بدیهی

هر گروه G زیرگروه خودش است و اگر e عنصر همانی گروه باشد، آنگاه {e} نیز یک زیرگروه G است. این دو زیرگروه را زیرگروه‌های بدیهی G می‌نامیم.

مثال‌ها

اگر ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ مجموعه اعداد صحیح و ${\displaystyle \mathbb {R} }$ مجموعه اعداد حقیقی باشد آنگاه ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)<(\mathbb {R} ,+)}$.

منابع

• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003). A first course in abstract algebra. Addison-Wesley. ISBN 9780201763904.