گروه چهارتایی کلاین

در جبر مجرد، گروه چهارتایی کلاین گروهی با چهار عضو و آبلی است. این گروه کوچکترین گروه نادوری است. نام گروه چهارتایی کلاین از ریاضی‌دان آلمانی فلیکس کلاین گرفته شده و معمولاً آن را با V برگرفته از واژهٔ آلمانی Viergruppe (به معنای چهار–گروه) نشان می‌دهند.[1] در حد یک‌ریختی تنها دو گروه چهار عضوی وجود دارد. یکی گروه Z_۴ با عمل جمع به هنگ چهار که دوری است و دیگری گروه کلاین است که دوری نیست.[2]

ویژگی‌ها

گروه چهارتایی کلاین دارای چهار عضو a و b و c و e است. که e عضو همانی است. ضرب اعضای آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

ea = ae = a و eb = be = b و ec = ce = c و ee = e و a^۲ = b^۲ = c^۲ = e و ab = ba = c و ac = ca = b و bc = cb = a

جدول گروه کلاین به صورت زیر است:

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

ویژگی‌های ساختاری

• گروه چهارتایی کلاین آبلی است.[3] یعنی به ازای هر دو عضو a و b گروه داریم: ab = ba
• گروه چهارتایی کلاین دوری نیست. زیرا عضوی وجود ندارد تا مولد گروه باشد. e مولد نیست، زیرا {e> = {e> که زیرگروه بدیهی گروه کلاین است. ار طرفی a و b و c نیز نمی‌توانند مولد باشند زیرا {a> = {e,a> و {b> = {e,b> و {c> = {e,c> که هر کدام زیرگروه‌های نابدیهی گروه کلاین هستند.[4]
• هر گروه نادوری از مرتبه چهار با گروه کلاین یک‌ریخت است.[5] به عنوان مثال Z_۲ × Z_۲ گروهی چهار عضوی و نادوری است که با گروه کلاین یک‌ریخت می‌باشد.

جستارهای وابسته

• نظریه گروه‌ها

پانویس

1. ساراسینو، جبر مجرد، ۵۳.
2. فرالی، نخستین درس در جبر مجرد، ۸۰.
3. ساراسینو، جبر مجرد، ۵۳.
4. ساراسینو، جبر مجرد، ۵۳.
5. ساراسینو، جبر مجرد، ۱۵۰.

منابع

• فرالی، جان ب. (۱۳۸۳). بهزاد، مهدی، ویراستار. نخستین درس در جبر مجرد. اول. ترجمهٔ مسعود فرزان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۶۴-۰۱-۰۳۵۱-۹.
• ساراسینو، دان (۱۳۸۱). جبر مجرد. ترجمهٔ محمدرضا فلکی. مشهد: اقلیدس. شابک ۹۶۴-۹۱۲۱۰-۹-۹.