تنسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی

در فیزیک، تنسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی قسمتی از تنسور ضربه-انرژی ، ناشی از میدان الکترومغناطیسی است.[1]

تعریف

دستگاه SI

در فضای آزاد و در فضازمان تخت، تنسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی در دستگاه SI چنین است:[1]

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F_{\ \alpha }^{\nu }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$

که در آن ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ تنسور الکترومغناطیسی و ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ متریک مینکوفسکی با قطر (+++−) است. به تقارن تنسور ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ توجه کنید.

به طور صریح در فرم ماتریسی رابطه‌ی بالا چنین است:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}},}$

در این ماتریس، ${\displaystyle \mathbf {S} }$ بردار پوئینتینگ است:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$

و ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ مولفه‌های تنسور تنش ماکسول هستند:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}.}$

c هم سرعت نور است.

دستگاه CGS

برای نوشتن روابط در دستگاه گاؤسی می‌توان ثابت گذردهی خلأ و ثابت تراوایی خلاء را در روابط بالا چنین جایگزین کرد:

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}$

بنابراین روابط قسمت قبل چنین خواهند شد:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}$

و به صورت صریح:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}(E^{2}+B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}$

توجه کنید که در دستگاه گاؤسی، بردار پوئینتینگ چنین است:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$

تنسور ضربه انرژی میدان الکترومغناطیسی در محیط دی‌الکتریک کمتر شناخته شده است و موضوع مباحثه هنوز حل نشده‌ی آبراهام−مینکوفسکی است.[2]

مولفه‌ی ${\displaystyle T^{\mu \nu }\!}$ از تنسور انرژی−تکانه بیانگر شار مولفه‌ی μام چارتکانه ی میدان الکترومغناطیسی، ${\displaystyle P^{\mu }\!}$ ، گذرنده از یک ابرصفحه است. (${\displaystyle x^{\nu }}$ ثابت ). این تنسور بیان‌کننده‌ی سهم الکترومغناطیس در منشأ میدان گرانشی (انحنای فضازمان) در نسبیت عام است.

قوانین پایستگی

با کمک تنسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی می‌توان قوانین پایستگی تکانه‌ی خطی و انرژی در الکترومغناطیس را به صورتی فشرده نوشت. دیورژانس تنسور ضربه تنرژی چنین است:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}$

که در آن ${\displaystyle f_{\rho }}$ نیروی لورنتز (در ۳ بعد) وارد بر ماده بر واحد حجم است.

این معادله هم‌ارز با قوانین پایستگی معروف الکترومغناطیس در ۳ بعد است

${\displaystyle {\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} =0\,}$

که اولی پایستگی انرژی :

${\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}$

و دومی پایستگی تکانه خطی را بیان می‌کند:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}$

J نیز چگالی جریان الکتریکی و ρ چگالی بار الکتریکی را نشان می‌دهد.

جستارهای وابسته

• معادلات ماکسول
• نسبیت عام
• معادلات میدان اینشتین
• توصیف‌های ریاضی میدان الکترومغناطیسی
• معادلات ماکسول در فضازمان خمیده
• فرمول‌بندی هموردای الکترومغناطیس کلاسیک
• مگنتو هیدرودینامیک
• حساب برداری

منابع

1. Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
2. Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007) را ببینید.