تنسور الکترومغناطیسی

در الکترومغناطیس, تنسور الکترومغناطیسی یا تنسور میدان الکترومغناطیسی (گاهی تنسور شدت میدانها, تنسور فارادی یا شبه بردار ماکسول هم گفته می‌شود.) یک مورد ریاضی است که میدان الکترومغناطیس یک مجموعهٔ فیزیکی را توصیف می‌کند. تنسور میدان که برای اولین بار بعد از تنسور ۴ بعدی روابط نسبیت خاص استفاده شد را هرمان مینکوفسکی معرفی کرد. تنسور به بعضی قوانین فیزیکی اجازه می‌دهد تا بسیار خلاصه تر نوشته شوند.

مقالات در مورد
الکترومغناطیس
برق مغناطیس تاریخچه الکترومغناطیس Textbooks
الکترواستاتیک بار الکتریکی قانون کولن رسانای الکتریکی چگالی بار الکتریکی گذردهی (فیزیک) گشتاور دوقطبی الکتریکی میدان الکتریکی پتانسیل الکتریکی شار الکتریکی / انرژی پتانسیل الکتریکی تخلیه الکترواستاتیکی قانون گاوس القای الکترواستاتیکی عایق الکتریکی چگالی قطبش الکتریسته ساکن اثر برق مالشی
مغناطیس ساکن قانون آمپر قانون بیو−ساوار قانون مغناطیسی گاوس میدان مغناطیسی شار مغناطیسی گشتاور مغناطیسی تراوایی مغناطیسی پتانسیل مغناطیسی نرده‌ای مغناطش نیروی محرک مغناطیسی Magnetostatic potential قانون دست راست
الکترومغناطیس کلاسیک نیروی لورنتس القای الکترومغناطیسی قانون القای فارادی قانون لنز جریان جابجایی پتانسیل برداری مغناطیسی معادلات ماکسول میدان الکترومغناطیسی بمب الکترومغناطیسی تابش الکترومغناطیسی تنسور تنش ماکسول بردار پوئینتینگ پتانسیل لینار−ویشرت معادلات جفیمنکو جریان گردابی معادلات لاندن توصیف‌های ریاضی میدان الکترومغناطیسی
مدار الکتریکی جریان متناوب ظرفیت خازنی جریان مستقیم جریان الکتریکی برق‌کافت چگالی جریان الکتریکی گرمایش ژول نیروی محرکه الکتریکی امپدانس الکتریکی ضریب خودالقایی قانون اهم مدارهای سری و موازی مقاومت و رسانایی الکتریکی تشدیدگر مدارهای سری و موازی ولتاژ Waveguides
فرمول‌بندی هم‌وردا تنسور الکترومغناطیسی (تنسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی) چاربردار جریان چاربردار پتانسیل
دانشمندان آندره-ماری آمپر ژان-بتیست بیو شارل آگوستن دو کولن همفری دیوی آلبرت اینشتین مایکل فارادی ایپولیت فیزو کارل فریدریش گاوس الیور هویساید جوزف هنری هاینریش هرتز جیمز ژول هاینریش لنز هندریک لورنتز جیمز کلرک ماکسول هانس کریستین اورستد گئورگ زیمون اهم Ritchie فلیکس ساوار سینگر نیکولا تسلا آلساندرو ولتا ویلهلم ادوارد وبر

تعریف

تنسور الکترومغناطیسی، قراردادی با حرف Fنمایش داده می‌شود، و به عنوان مشتق خارجی چاربردار پتانسیل, A, دیفرانسیل فرم۱ است:[1][2]

${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$

پسF یک دیفرانسیل فرم۲—که یک تنسور میدان مرتبه۲ نامتقارن در فضای مینکوفسکی است.

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

رابطه با میدان‌های کلاسیک

تنسور الکترومغناطیسی نسبت به میدانهای الکتریکی و مغناطیسی کاملاً همدیس , گرچه میدانهای الکتریکی و مغناطیسی با تغییر قاب مرجع تغییر می‌کنند، تنسور الکترومغناطیسی این گونه نیست. در حالت کلی، رابطه تقریباً پیچیده است، ولی در مختصات دکارتی، با استفاده از قاب مرجع خود دستگاه مختصات، رابطه بسیار ساده می‌شود.

${\displaystyle E_{i}=cF^{i0},}$

که c سرعت نور، و

${\displaystyle B_{i}=-{\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}F^{jk},}$

که${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ نماد لوی چوی است. به عبارت ماتریسی:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=F^{\mu \nu }.}$

یا:

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\mu \alpha }\eta _{\nu \beta }F^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

شکل نا همسان در رابطهٔ نیروی لورنتس ظاهر می‌شود: ${\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=qF_{\nu }^{\mu }u^{\nu }}$، where

${\displaystyle F_{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

در این مقاله از این جا به بعد دستگاه مختصات را دکارتی و قاب مرجع را خود دستگاه فرض کنید.

مشخصات

شکل ماتریسی تنسور میدان مشخصات زیر را داراست:[1]

۱=ضد تقارن:

${\displaystyle F^{\mu \nu }\,=-F^{\nu \mu }}$

۲=۶ جزء مستقل: در مختصات دکارتی، که سه مؤلفه فضایی میدان الکتریکی(E_x, E_y, E_z) و میدان مغناطیسی (B_x, B_y, B_z) هستند.

۳=ضرب داخلی: اگر از ضرب داخلی تنسور شدت میدان استفاده کنیم یک ثابت لورنتس را می‌توان به صورت زیر نوشت:

${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}$

با تغییر قاب مرجع این عدد تغییر نمی‌کند. ۴=ثابت شبه اسکالر: ضرب تنسور ${\displaystyle \scriptstyle (F^{\mu \nu })}$ با تنسور دوگانهٔ ${\displaystyle \scriptstyle (G^{\mu \nu })}$ ثابت لورنتس را نتیجه می‌دهد:

${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)\,}$

که ${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$ نماد لوی چوی مرتبه ۴ است. نماد آن بستگی به مجمع مورد استفاده برای نماد لوی چوی دارد. مجمعی که در این جا استفاده می‌شود ${\displaystyle \epsilon _{0123}=+1}$.

۵=دترمینان:

${\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$

که مربع ثابت بالاست.

نکات

با استفاده از تعریف داریم:

${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})}$

بنابرین اگر:

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

در آن صورت:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]}\end{aligned}}}$

منابع

1. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
2. D.J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3rd Edition). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 81-7758-293-3.