معادلات لاندن

معادلات لاندن توسط برادران فریتز لاندن و هاینز لاندن در سال ۱۹۳۵ توسعه یافتند[1] که مربوط به جریان در میدانهای الکترومغناطیسی در اطراف یک ابررسانا است. مسلماً ساده‌ترین توصیف معنی‌دار پدیده ابررسانایی است.[2][3][4] عمده پیروزی معادلات توانایی برای توضیح اثر مایسنر است[5] جایی که مواد به‌طور نمایی تمام میدان‌های مغناطیسی داخلی را از ماده به بیرون می‌فرستند وقتی که ماده از آستانه ابررسانی عبور کرد.

مقالات در مورد
الکترومغناطیس
برق مغناطیس تاریخچه الکترومغناطیس Textbooks
الکترواستاتیک بار الکتریکی قانون کولن رسانای الکتریکی چگالی بار الکتریکی گذردهی (فیزیک) گشتاور دوقطبی الکتریکی میدان الکتریکی پتانسیل الکتریکی شار الکتریکی / انرژی پتانسیل الکتریکی تخلیه الکترواستاتیکی قانون گاوس القای الکترواستاتیکی عایق الکتریکی چگالی قطبش الکتریسته ساکن اثر برق مالشی
مغناطیس ساکن قانون آمپر قانون بیو−ساوار قانون مغناطیسی گاوس میدان مغناطیسی شار مغناطیسی گشتاور مغناطیسی تراوایی مغناطیسی پتانسیل مغناطیسی نرده‌ای مغناطش نیروی محرک مغناطیسی Magnetostatic potential قانون دست راست
الکترومغناطیس کلاسیک نیروی لورنتس القای الکترومغناطیسی قانون القای فارادی قانون لنز جریان جابجایی پتانسیل برداری مغناطیسی معادلات ماکسول میدان الکترومغناطیسی بمب الکترومغناطیسی تابش الکترومغناطیسی تنسور تنش ماکسول بردار پوئینتینگ پتانسیل لینار−ویشرت معادلات جفیمنکو جریان گردابی معادلات لاندن توصیف‌های ریاضی میدان الکترومغناطیسی
مدار الکتریکی جریان متناوب ظرفیت خازنی جریان مستقیم جریان الکتریکی برق‌کافت چگالی جریان الکتریکی گرمایش ژول نیروی محرکه الکتریکی امپدانس الکتریکی ضریب خودالقایی قانون اهم مدارهای سری و موازی مقاومت و رسانایی الکتریکی تشدیدگر مدارهای سری و موازی ولتاژ Waveguides
فرمول‌بندی هم‌وردا تنسور الکترومغناطیسی (تنسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی) چاربردار جریان چاربردار پتانسیل
دانشمندان آندره-ماری آمپر ژان-بتیست بیو شارل آگوستن دو کولن همفری دیوی آلبرت اینشتین مایکل فارادی ایپولیت فیزو کارل فریدریش گاوس الیور هویساید جوزف هنری هاینریش هرتز جیمز ژول هاینریش لنز هندریک لورنتز جیمز کلرک ماکسول هانس کریستین اورستد گئورگ زیمون اهم Ritchie فلیکس ساوار سینگر نیکولا تسلا آلساندرو ولتا ویلهلم ادوارد وبر

یک ماده وقتی سردتر از دمای بحرانی ابررسانایی می‌شود، میدان مغناطیسی درون مواد از طریق اثر مایسنر از ماده به بیرون پرت می‌شوند. معادلات لاندن این اثر را به‌طور کمی تشریح می‌کند.

فرمول‌بندی

دو معادله لاندن برای بیان میدان‌های قابل اندازه‌گیری بیان می‌شوند:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

در اینجا ${\displaystyle {\mathbf {j} }_{s}}$ چگالی جریان ابررسانا است، E و B به ترتیب میدانهای الکتریکی و مغناطیسی در داخل ابررسانا هستند، ${\displaystyle e\,}$ یک الکترون و پروتون است، ${\displaystyle m\,}$ جرم الکترون و ${\displaystyle n_{s}\,}$ یک ثابت پدیدارشناسی است که مرتبط با تراکم تعداد حامل‌های ابررساناست.[6] در سراسر این مقاله یکای SI استفاده می‌شوند.

از سوی دیگر اگر کسی مایل به انتزاعی‌تر کردن معادلات باشد، هر دو عبارات فوق می‌تواند به شکل تمیز و یکسان «معادله لاندن» و با استفاده از پتانسیل برداری A نوشته شود:[7]

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {A} .}$

آخرین معادله تنها نقطه ضعفی که دارد این است که به‌طور پیمانه‌ای ناوردا نیست. اما تنها وقتی صحیح است که در پیمانه کولونی باشد که در آن دیورژانس A صفر است.[8] این معادله برای میدان‌های مغناطیسی به آرامی در فضا تغییر می‌کنند صحیح است.

عمق نفوذ لاندن

اگر دومین معادله لاندان را بگیرم قانون آمپر را روی آن استفاده کنیم، خواهیم داشت[9]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} }$،

سپس نتیجه معادله دیفرانسیل

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {B} ,\qquad \lambda \equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{s}e^{2}}}}.}$

بنابراین معادلات لاندن حاکی از خصیصه طولی است که میدان مغناطیسی خارجی به‌طور نمایی سرکوب می‌شود که این مقدار عمق نفوذ لاندن نام دارد.

منابع

1. London, F.; London, H. (1935). "The Electromagnetic Equations of the Supraconductor". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 149 (866): 71. Bibcode:1935RSPSA.149...71L. doi:10.1098/rspa.1935.0048.
2. Michael Tinkham (1996). Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. ISBN 0-07-064878-6.
3. Neil Ashcroft; David Mermin (1976). Solid State Physics. Saunders College. p. 738. ISBN 0-03-083993-9.
4. Charles Kittel (2005). Introduction to Solid State Physics (8th ed.). Wiley. ISBN 0-471-41526-X.
5. Meissner, W.; R. Ochsenfeld (1933). "Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit". Naturwissenschaften. 21 (44): 787. Bibcode:1933NW.....21..787M. doi:10.1007/BF01504252.
6. James F. Annett (2004). Superconductivity, Superfluids and Condensates. Oxford. p. 58. ISBN 0-19-850756-9.
7. John David Jackson (1999). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. p. 604. ISBN 0-19-850756-9.
8. Michael Tinkham (1996). Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. p. 6. ISBN 0-07-064878-6.
9. (The displacement is ignored because it is assumed that electric field only varies slowly with respect to time, and the term is already suppressed by a factor of c.