کلاف برداری

در ریاضیات، یک کلاف برداری یک ساختار توپولوژیکیست که ایده خانواده‌ای از فضاهای برداری پارامتر شده توسط یک فضای دیگر چون ${\displaystyle X}$ را به شکل دقیق در می آورد (به عنوان مثال ${\displaystyle X}$ می تواند فضای توپولوژیکی، یک منیفلد یا یک واریته جبری باشد): برای هر نقطه ${\displaystyle x}$ از فضای ${\displaystyle X}$، یک فضای برداری ${\displaystyle V(X)}$ را نظیر (یا الصاق) می کنیم، چنان که این فضاهای برداری برای تشکیل یک فضا از نوع ${\displaystyle X}$ به شکل مناسبی هم متصل می شوند (به عنوان مثال، یک فضای توپولوژی، منیفلد یا واریته جبری)، که به آن کلاف برداری روی ${\displaystyle X}$ گویند.

نوار موبیوس (که بی نهایت گسترش یافته است) یک کلاف خطی روی کره یک بعدی ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ است. در همسایگی هر نقطه از ${\displaystyle S^{1}}$، به طور موضعی شبیه ${\displaystyle U\times R}$ است (که در آن ${\displaystyle S^{1}}$ یک کمان باز شامل آن نقطه است)، اما کل کلاف با ${\displaystyle S^{1}\times R}$ (که یک استوانه است) متفاوت است.

ساده‌ترین مثال حالتی است که خانواده فضاهای برداری، ثابت باشند، یعنی یک فضای برداری مشخصی چون ${\displaystyle V}$ وجود دارد چنان که برای تمام ${\displaystyle x}$ در ${\displaystyle X}$ داریم ${\displaystyle V(X)=V}$: در این شرایط، یک کپی از ${\displaystyle V}$ برای هر ${\displaystyle x}$ در ${\displaystyle X}$ وجود دارد و این کپی ها با هم جور هستند به گونه ای که همگی تشکیل یک کلاف برداری ${\displaystyle X\times V}$ روی ${\displaystyle X}$ را می دهند. چنین کلاف‌های برداری را بدیهی گویند. یک دسته از مثال های پیچیده تر (که برای الگو مناسب ترند) کلاف های مماس منیفلدهای هموار (یا دیفرانسیل‌پذیر) می باشند: برای هر نقطه از چنین منیفلدی، یک فضای مماس در آن نقطه به منیفلد الصاق می کنیم. در کل، کلاف های برداری، کلاف‌های بدیهی نیستند. به عنوان مثال، کلاف مماس یک کره براساس قضیه توپ مویی غیر بدیهیست. در حالت کلی، یک منیلفد را موازی‌پذیر گویند اگر و تنها اگر کلاف مماس آن بدیهی باشد.

با این حال، تقریباً همیشه نیاز می شود که یک کلاف برداری به طور موضعی بدیهی، یعنی مثال هایی از کلاف‌های تاری باشند. همچنین معمولاً نیاز است که فضاهای برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط تعریف شوند، در این صورت به کلاف های متناظر آن ها به ترتیب کلاف‌های حقیقی و کلاف‌های مختلط گویند. کلاف‌های برداری مختلط را می توان به صورت کلاف‌های برداری حقیقی با ساختاری اضافی دید. در ادامه، ما بر روی کلاف‌های حقیقی در رسته فضاهای توپولوژی می پردازیم.

یادداشت‌ها

منابع

• Hatcher, Allen (2003), Vector Bundles & K-Theory (2.0 ed.)
• Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 107, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4815-9.
• Lee, John M. (2003), Introduction to Smooth Manifolds, New York: Springer, ISBN 0-387-95448-1 see Ch.5
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1, see section 1.5.
• Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1, see section 1.5
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Vector Bundle». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۰ آگوست ۲۰۱۹.