فضای برداری

در ریاضیات، فضای برداری یا فضای خطی به دسته ای از اشیاء ریاضی (به نام بردارها) گفته می‌شود که در مورد آن‌ها دو عمل جمع برداری و ضرب نرده‌ای به نحوی تعریف شده باشد که اصول موضوع چندی اجرا شود.

جمع برداری و ضرب نرده‌ای: بردار v (آبی) با بردار w (قرمز) جمع شده‌است (تصویر بالایی). در تصویر پایین، w در اسکالر ۲ ضرب شده و مجموع آنها عبارتست از: v + 2·w.

از معمول‌ترین فضاهای برداری در ریاضیات، و کاربردهای آن، فضاهای برداری حقیقی و فضاهای برداری مختلط هستند، که به ترتیب بر روی میدان‌های اعداد حقیقی و اعداد مختلط تعریف می‌شوند.

عملگرهای جمع برداری و ضرب اسکالر باید در ده اصل موضوعه ای که در قسمت تعریف § آورده شده‌است صدق کنند. برای مشخص کردن این که اسکالرهای فضای برداری حقیقی هستند یا مختلط، از عبارت‌های فضای برداری حقیقی یا فضای برداری مختلط استفاده می‌کنند.

بردارهای اقلیدسی نمونه ای از فضای خطی هستند.

تعریف

فضای برداری مجموعه‌ای از بردارهاست که مقیاس‌پذیرند و قابلیت جمع شدن را دارند.

یک فضای برداری یا فضای خطی از موارد زیر تشکیل شده‌است:[1]

اصول موضوعه فضای برداری

اصول موضوع بسته بودن
بسته بودن نسبت به جمع برداری	به هر جفت عنصر ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ در ${\displaystyle V}$ عنصری منحصر به فرد در ${\displaystyle V}$ مربوط است به نام مجموع ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ که با ${\displaystyle \alpha +\beta }$ نشان داده می‌شود.
بسته بودن نسبت به ضرب در اعداد حقیقی	به هر ${\displaystyle \alpha }$ در ${\displaystyle V}$ و هر عدد حقیقی ${\displaystyle c}$ عنصری در ${\displaystyle V}$ مربوط است به نام حاصلضرب ${\displaystyle c}$ و ${\displaystyle \alpha }$ که با ${\displaystyle c\alpha }$ نشان داده می‌شود.
اصول موضوع جمع	عمل جمع با این تعریف که برای هر ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ در ${\displaystyle V}$، ${\displaystyle \alpha +\beta }$ در ${\displaystyle V}$ با این شرایط
شرکت‌پذیری در جمع	${\displaystyle \alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma }$
خاصیت جابه‌جایی در جمع برداری	${\displaystyle \alpha +\beta =\beta +\alpha \,}$
عنصر همانی (عضو خنثی) در جمع برداری	بردار یکتای ${\displaystyle 0}$ وجود دارد به طوریکه به ازای هر ${\displaystyle \alpha }$ عضو ${\displaystyle V}$، ${\displaystyle \alpha +0=\alpha }$
عنصر وارون در جمع برداری	به ازای هر بردار ${\displaystyle \alpha }$ عضو ${\displaystyle V}$، بردار یکتای ${\displaystyle -\alpha }$ وجود دارد به طوریکه ${\displaystyle \alpha +(-\alpha )=0}$
اصول موضوع ضرب	عمل ضرب با این تعریف برای هر بردار ${\displaystyle \alpha }$ در ${\displaystyle V}$ و اسکالر ${\displaystyle c}$ در میدان ${\displaystyle F}$، با این شرایط:
شرکت‌پذیری در ضرب	${\displaystyle (c_{1}c_{2})\alpha =c_{1}(c_{2}\alpha )}$[nb 1]
عنصر همانی در ضرب اسکالر	به ازای هر ${\displaystyle \alpha }$ در ${\displaystyle V}$، ${\displaystyle 1\alpha =\alpha }$
پخش‌پذیری ضرب اسکالر برای جمع در ${\displaystyle V}$	${\displaystyle c(\alpha +\beta )=c\alpha +c\beta }$
پخش‌پذیری ضرب اسکالر برای جمع اعداد	${\displaystyle (c_{1}+c_{2})\alpha =c_{1}\alpha +c_{2}\alpha }$

پوچساز

هرگاه ${\displaystyle V}$ فضایی برداری باشد بر میدان ${\displaystyle F}$ و ${\displaystyle S}$ زیرمجموعه‌ای از ${\displaystyle V}$ باشد، در این صورت پوچساز ${\displaystyle S}$ عبارتست از تابعک‌های خطی ${\displaystyle f}$ روی ${\displaystyle V}$ که به ازای هر ${\displaystyle \alpha }$ در ${\displaystyle S}$ داریم ${\displaystyle f(\alpha )=0}$. پوچساز را با ${\displaystyle S^{\circ }}$ نشان می‌دهند.

در واقع داریم:

${\displaystyle S^{\circ }={\big \{}f|f(\alpha )=0\quad \forall \alpha \in S{\big \}}}$

جستارهای وابسته

• تحلیل مولفه‌های اصلی
• میدان برداری
• نرم‌ها

پانویس

1. هافمن، صفحهٔ ۲۸

منابع

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)
• مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی (انگلیسی)
• فضای برداری

• Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8
• Kenneth Hoffman, Ray Kunze، «۲»، Linear Algebra (ویراست Second Edition)، Prentice-Hall, Inc.، ص. ۲۸

1. This axiom and the next refer to two different operations: scalar multiplication: bv; and field multiplication: ab. They do not assert the associativity of either operation. More formally, scalar multiplication is a monoid action of the multiplicative monoid of the field F on the vector space V.