قضیه نگاشت باز

در ریاضیات دو قضیه با نام «قضیه نگاشت باز» (به انگلیسی: Open mapping theorem) وجود دارد.

آنالیز تابعی

در آنالیز تابعی، قضیهٔ نگاشت باز که همچنین با نام قضیهٔ شوائر–باناخ شناخته شده‌است یک نتیجهٔ اصلی است که بیان می‌کند: اگر A: X → Y عملگر خطی پیوسته پوشا در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه A یک نگاشت باز است (اگر U یک مجموعه باز در X باشد، آنگاه A(U) یک مجموعه بازدر Y است).

برای اثبات از قضیهٔ رسته‌ای بئر استفاده می‌شود.

قضیه نگاشت باز دو نتیجه مهم دارد:

• اگر A: X → Y یک عملگر خطی پیوسته دوسو در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه عملگر وارون A^-۱: Y → X یک عملگر خطی پیوسته دوسو است.
• اگر A: X → Y یک عملگر خطی در فضای باناخ X و Y باشد و اگر برای هر دنباله (x_n) در X با x_n → ۰ و Ax_n → y تابعیت می‌کند که y = ۰، آنگاه A پیوسته‌است (قضیه نمودار بسته).

آنالیز مختلط

در آنالیز مختلط قضیه نگاشت باز بیان می‌کند که اگر U یک مجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط C باشد و f: U → C یک تابع هولومورفیک غیر ثابت باشد، آنگاه f یک نگاشت باز است (زیر مجموعه‌های باز U را به زیرمجموعه‌های باز C می‌نگارد).

قضیه برای مثال اشاره به این مطلب می‌کند که یک تابع هولومورفیک غیر ثابت نمی‌تواند یک قرص باز را به توی بخشی از یک خط بنگارد.

برهان

ابتدا فرض کنید f یک تابع غیر ثابت هولومورفیک و U یک زیرمجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط است. اگر هر نقطه در ${\displaystyle f(U)}$ یک نقطهٔ داخلی ${\displaystyle f(U)}$ باشد آنگاه ${\displaystyle f(U)}$ باز است؛ بنابراین اگر هر نقطه در ${\displaystyle f(U)}$ که محتوی یک دیسک است، شامل ${\displaystyle f(U)}$ باشد آنگاه ${\displaystyle f(U)}$ باز است.

اطراف هر نقطه در ${\displaystyle U}$، یک گوی مناسب در ${\displaystyle U}$ وجود دارد. یک ${\displaystyle z_{0}}$ دلخواه در ${\displaystyle U}$ و نقطهٔ تصویر آن ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ را در نظر بگیرید. اگر ${\displaystyle f(z_{0})-w_{0}=0}$ آنگاه ${\displaystyle z_{0}}$ یک ریشه تابع ${\displaystyle f(z)-w_{0}}$ است. تابع ${\displaystyle f(z)-w_{0}}$ ممکن است ریشه دیگری در فاصله ${\displaystyle d_{1}}$ از ${\displaystyle z_{0}}$ داشته باشد. فاصله از ${\displaystyle z_{0}}$ تا یک نقطه که در U نیست نوشته می‌شود ${\displaystyle d_{2}}$. هر گوی B با شعاع کمتر از مینیمم ${\displaystyle d_{1}}$ و ${\displaystyle d_{2}}$ داخل U خواهد بود و حداقل یکی وجود دارد زیرا ${\displaystyle d_{1},d_{2}>0}$.

گوی ${\displaystyle B_{2}}$ را اطراف ${\displaystyle w_{0}}$ با شعاع ${\displaystyle e}$ و عناصر ${\displaystyle w}$ در نظر می‌گیریم. از قضیه روشه یا آرگومان اصلی توابع ${\displaystyle f(z)-w_{0}}$ و ${\displaystyle f(z)-w}$ برای هر ${\displaystyle w}$ با فاصله ${\displaystyle e}$ از f(${\displaystyle z_{0}}$)، دارای تعداد یکسانی ریشه هستند. فرض کنید ${\displaystyle z_{1}}$ ریشه یا یکی از ریشه‌های ${\displaystyle f(z)-w}$ باشد؛ بنابراین، برای هر ${\displaystyle w}$ در ${\displaystyle B_{2}}$، یک ${\displaystyle z_{1}}$ در ${\displaystyle B}$ وجود دارد که ${\displaystyle f(z_{1})=w}$، تصویر ${\displaystyle B_{2}}$ یک زیر مجموعه از تصویر ${\displaystyle B}$ است که یک زیر مجموعه ${\displaystyle f(U)}$ است. پس ${\displaystyle w}$ یک نقطه درونی ${\displaystyle f(U)}$ بای هر ${\displaystyle w}$ دلخواه، و قضیه ثابت شده‌است.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Open mapping theorem (functional analysis)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۲ فوریه ۲۰۱۴.