دستگاه معادلات خطی

مجموعه‌های مشتمل بر بیش از یک معادله خطّی را دستگاه معادلات خطّی می‌گویند. برای مثال:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

دستگاهیست با ۳ معادله و ۳ مجهول (x و y و z).

سامانه‌های اینگونه را در شاخه‌ای وسیع و پرکاربرد از ریاضیّات موسوم به جبر خطّی مورد تحلیل و بررسی قرار می‌دهند.

دستگاه معادله‌های خطی شامل مجموعه ای از دو یا چند معادله خطی می‌باشد.

منظور از حل دستگاه، به دست آوردن مقادیری برای مجهولات است که به ازای آن مقادیر این معادله‌ها بر قرار باشند.

مشخصات:

• نام:دستگاه معادله‌های خطی
• این دستگاه شامل دو معادلهٔ خطی می‌باشد.
• این دستگاه شامل دو مجهول x و y است.
• به ازای x=-۶ و y=۳ هر دو معادله بر قرارند.
• جواب دستگاه در واقع طول و عرض نقطهٔ تقاطع این دو خط می‌باشد.

دستگاه دو معادلهٔ دو مجهولی:

یک دستگاه دو مجهولی درجه اول به شکل زیر است:

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=C_{1}}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y=C_{2}}$

این دستگاه شامل دو معادله و دو مجهول می‌باشد. مجهول‌های دستگاه در مورد هر موضوعی می‌توانند باشند. برای حل دستگاه روشهایی وجود دارد که دو روش حذفی و جانشینی (جایگذاری) در ادامه توضیح داده شده‌اند.

روش حذفی:

در این روش هر یک از دو معادله مفروض را در عددی ضرب می‌کنیم که ضریب‌های یکی از مجهول‌ها در دو معادله قرینه شود، آنگاه طرفین دو معادله را نظیر به نظیر جمع می‌کنیم و ساده می‌کنیم، پس از پیدا شدن یکی از مجهول‌ها آن را در یکی از دو معادله قرار می‌دهیم و مجهول دیگر را بدست می‌آوریم.

روش جانشینی (جایگذاری):

در این روش از هر دو معادله x یا y را پیدا نموده و مساوی هم قرار می‌دهیم.

منابع

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)

• Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

جستارهای وابسته

• جبر خطی

منابع بیشتر

• ویدیوهای آموزشی دستگاه معادلات خطی (جبر خطی پیش دانشگاهی) به زبان فارسی: