مشتق لی

در ریاضیات ٬ مشتق لی که به افتخار سوفوس لی نام‌گذاری شده است٬ تغییر یک میدان تانسوری ( در حالت کلی٬شامل میدان نرده‌ای و میدان برداری و یک-فرم)را در جهت یک شارش یک میدان برداری دیگر به‌دست می‌دهد.[1][2] این تغییر در دستگاه ها مختصات مختلف ناوردا است و به همین دلیل مشتق لی بر روی هر منیفلد دیفرانسیل‌پذیر تعریف می‌شود.

تعریف

مشتق لی یک تابع

چند تعریف برای مشتق لی یک تابع وجود دارد.

• می‌توان مشتق لی رابراساس تعریف میدان‌های برداری به عنوان عملگرهای دیفرانسیلی مرتبه اول تعریف کرد. با فرض تابع ƒ : M → R و یک میدان برداری ${\displaystyle X}$ تعریف شده روی M ٬ مشتق لی ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f}$ یک تابع در راستای میدان${\displaystyle X}$ با اعمال میدان به دست می‌آید.می‌توان آن را مشتق جهت‌دار ${\displaystyle f}$ در راستای ${\displaystyle X}$ پنداشت.ینابراین در یک نقطه p ∈ M داریم:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)\triangleq X_{p}(f)\triangleq (Xf)(p)}$

براساس تعریف مشتق‌گیری ٬می‌توان این مشتق را روی M چنین نیز نوشت:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)\triangleq \operatorname {d} f_{p}\,(X_{p})}$

با انتخاب مختصات x^a و با نوشتن :${\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}$ که در آن ${\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$ بردارهای یکه برای دسته(باندل) مماس‌ها هستند٬ خواهیم داشت:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)=X^{a}(p)(\partial _{a}f)(p)}$.

مشتق لی یک میدان برداری

ابتدا یک براکت لی از دو میدان برداری X و Y‌تعریف می‌کنیم. یک تعریف عبارت است از:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$

تعریف‌های دیگر چنین‌اند: ( ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$ تبدیل شار(فلو)‌و d عملگر نگاشت مماس مشتق است)

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}:=\lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {d} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}-Y_{x}}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {d} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y:=\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {dt} ^{2}}}\right|_{t=0}\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\Phi _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{X}\,}$ [3]

منابع

1. Andrzej Trautman (2008), "Remarks on the history of the notion of Lie differentiation", “Variations, Geometry and Physics” in honour of Demeter Krupka’s sixty-fifth birthday O. Krupková and D. J. Saunders (Editors) Nova Science Publishers, pp. 297-302
2. Ślebodziński W. (1931), Sur les équations de Hamilton, Bull. Acad. Roy. d. Belg. 17 (5) pp. 864-870
3. Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J. (1993). p. 21. Missing or empty |title= (help)