توزیع احتمال شرطی

توزیع احتمال شرطی اگر توزیع مشترک(توزیع احتمال توام) دو متغیر تصادفی X و Y را داشته باشیم،توزیع احتمال Y به شرط X ،توزیع احتمال Y است وقتی X دارای مقدار مشخصی باشد.اگر توزیع احتمال شرطی Y به شرط X یک توزیع پیوسته باشد،آنگاه تابع چگالی احتمال با نام تابع چگالی شرطی خوانده می شود.

امید ریاضی و واریانس در توزیع شرطی به ترتیب امید ریاضی شرطی و واریانس شرطی نام دارند.

برای متغیر های تصادفی گسسته توزیع احتمال شرطی به صورت زیر است:

${\displaystyle p_{Y}(y\mid X=x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}}.}$

واضح است که P(X=x)>۰.

رابطه زیر به دست آوردن توزیع X به شرط Y را از روی توزیع Y به شرط X نشان می دهد:

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(X=x\ \cap Y=y)=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

توزیع های پیوسته

به طور مشابه برای متغیرهای تصادفی پیوسته تابع چگالی احتمال Y به شرط X به صورت زیر نوشته می شود:

${\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}},}$

که در اینجا (f_X،Y(x،y تابع چگالی مشترک X و Y را نشان می دهد و (f_X(x تابع چگالی X را.

در اینجا نیز واضح است که ۰ <(f_X(x

رابطه تابع چگالی شرطی X به شرط Y به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x\mid Y=y)f_{Y}(y).}$

رابطه با استقلال

دو متغیر تصادفی X و Y مستقلند اگر و فقط اگر توزیع احتمال شرطی Y به شرط X برابر باشد با توزیع Y(بدون مشروط کردن آن).یعنی:

(P(Y=y|X=x)=P(Y=y

در مورد متغیرهای تصادفی پیوسته رابطه بالا به صورت زیر خواهد بود:

توجه

به عنوان تابعی از y برای هر x داده شده (P(Y=y|X=x یک احتمال خواهد بود و جمع روی y(یا انتگرال روی y در صورت پیوسته بودن توزیع) ۱ خواهد شد.در حالی که به عنوان تابعی از x برای هر y داده شده رابطه فوق یک احتمال نخواهد بود و جمع روی x برابر با ۱ نخواهد شد.

منابع

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Conditional_probability_distribution&oldid=467196678