سری فوریه گسسته کاهنده

سری فوریه گسسته کاهنده (به انگلیسی: Regressive discrete Fourier series) (مخفف انگلیسی: RDFS) که در ریاضیات کاربردی مورد استفاده قرار می‌گیرد، در واقع بسط و گسترش تبدیل فوریه گسسته است. در این گسترش ضرایب تبدیل با روشی مشابه کمترین مربعات و دورهٔ تناوب انتخابی محاسبه می‌گردد. این سری اولین بار توسط ارودا معرفی شد. از این سری می‌توان برای هموار کردن (smooth) اطلاعات در یک و دو بعد استفاده کرد.

تکنیک

یک‌بعدی

سری فوریه گسسته کاهندهٔ یک بعدی که توسط ارودا معرفی شد را می‌توان به صورت ساده‌ای نشان داد. با داشتن آرایهٔ نمونه‌برداری (سیگنال) ${\displaystyle x_{n}=x(t_{n})}$، می‌توان عبارت جبری زیر را نوشت:

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=-q}^{q}X_{k}e^{\frac {-i2\pi kt_{n}}{T}}+\varepsilon _{n},t_{n}{\text{ arbitrary }},\quad n=1,\dots ,N}$

در این حالت معمولاً و نه لزوما ${\displaystyle t_{n}=n\,\Delta t}$ برقرار است.

فرمول بالا را می‌توان به صورت ماتریسی نیز نوشت:

${\displaystyle WX=x+\varepsilon }$

راه حل کمترین مربعات برای دستگاه معادلات خطی بالا به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle {\hat {X}}=(W^{H}W)^{-1}W^{H}x}$

سیگنال هموار (smooth) شده نیز از معادله زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle {\hat {x}}=Wx}$

اولین مشتق سیگنال هموار شده ${\displaystyle {\hat {x}}}$ نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t_{n})=\sum _{k=-q}^{q}{\frac {-i2\pi k}{T}}X_{k}e^{\frac {-i2\pi kt_{n}}{T}},\quad n=1,\dots ,N}$

جستارهای وابسته

• سری فوریه
• فهرست تبدیل‌های مرتبط با تبدیل فوریه
• تبدیل فوریه گسسته

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Regressive discrete Fourier series». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۶ بهمن ۱۳۹۲.