مارپیچ طلایی

در هندسه اسپیرال طلائی (به انگلیسی: Golden spiral) یا مارپیچ طلائی یک اسپیرال لگاریتمی است که عامل رشد آن φ نسبت طلایی است.[1] اسپیرال طلائی بر پایه φ به ازا هر ربع چرخش گسترده‌تر یا بازگردانده‌تر به مبدا می‌شود.

شکل حدودی اسپیرال طلائی

فرمول

دستگاه مختصات قطبی برای اسپرال طلائی مانند اسپیرال لگاریتمی است، ولی با رشد مخصوص b:[2]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

یا

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

با عدد e مانند لگاریتم، a هست مثبت و ممتد مانند زمانی که bو θ طبیعی است زاویه قائمه ربع چرخش در جهت دیگر):

${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}\,=\varphi }$

در نتیجه b می‌دهد

${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$

مقدار عددی b بستگی دارد به اینکه زاویه سمت راست به اندازه ۹۰ درجه باشد یا ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ رادیان

زاویه می‌تواند در جهت دیگر باشد و نوشتن فرمول برای مقدار مطلق ${\displaystyle b}$ (که b می‌تواند همچنین مقدار منفی باشد) ساده‌تر است :

اعداد فیبوناچی نمایش برای اندازه مربعات ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱ و ۳۴.

${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}=0.0053468\,}$ for θ in degrees;

${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}=0.306349\,}$ for θ in radians.

فرمول دیگر برای لگاریتم و اسپیرال طلائی به شرح زیر است:[3]

${\displaystyle r=ac^{\theta }\,}$

جایی که ثابت c می دهد:

${\displaystyle c=e^{b}\,}$

که برای اسپرال طلائی c می‌دهد مقدار:

${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$

اگر θ به درجه اندازه‌گیری شود و

${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.}$

اگر θ اندازه‌گیری شود به رادیان.

خصوصیات

اسپیرال طلائی مانند اسپیرال لگاریتمی هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می‌توان به هر یک از دو سو تا بی‌نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم، دارد.[4]

جستارهای وابسته

• مارپیچ لگاریتمی
• اعداد فیبوناچی

منابع

1. Chang, Yu-sung, "Golden Spiral بایگانی‌شده در ۲۸ ژوئیه ۲۰۱۹ توسط Wayback Machine", The Wolfram Demonstrations Project.
2. Priya Hemenway (۲۰۰۵). Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. صص. ۱۲۷–۱۲۹. شابک ۱-۴۰۲۷-۳۵۲۲-۷.
3. Klaus Mainzer (۱۹۹۶). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. صص. ۴۵, ۱۹۹–۲۰۰. شابک ۳-۱۱-۰۱۲۹۹۰-۶.
4. http://danesh.roshd.ir/mavara/mavara-view_forum_threads2.php?comment=112617&SSOReturnPage=Check&Rand=0#ref112617

• ویکی‌پدیا انگلیسی