مجموعه‌های مجزا

در نظریه مجموعه‌ها دو مجموعهٔ ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ مجموعه‌های مجزا (به انگلیسی: Disjoint sets) هستند، دارای هیچ عضو مشترکی نباشند. چند مجموعه به صورت زوج مجزا هستند اگر هر جفت دوتایی از آن‌ها دارای عضو مشترک نباشد.

تعریف

مجموعه‌های ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ مجزا هستند، زمانی که اشتراک آن‌ها مجموعهٔ تهی باشد، در این صورت داریم:

${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$

یک خانواده ${\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}$ (مجموعه‌ای از مجموعه‌ها) زمانی مجزا است که تمامی اعضای آن جفت-جفت مجزا باشند، در این صورت داریم:

${\displaystyle M_{i}\cap M_{j}=\emptyset }$ برای ${\displaystyle \!\,i\neq j}$ و ${\displaystyle i,j\in I}$

اگر اجتماع این مجموعه‌ها را در نظر بگیریم، آنگاه اجتماع مجموعه‌های مجزا به دست می‌آید که به شکل زیر است:

${\displaystyle M={\dot {\bigcup _{i\in I}}}M_{i}}$

اگر اعضای خانواده مجموعهٔ تهی نباشند، در این صورت به افراز مجموعه ${\displaystyle M}$ می‌رسیم.

به صورت همانند می‌توان به جای خانواده مجموعه‌ها از سیستم مجموعه‌ها هم استفاده کرد.

مثال

• مجموعه‌های ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ و ${\displaystyle B=\{7,8,11\}}$ مجزایند، چون هیچ عضو مشترکی ندارد.
• مجموعه‌های ${\displaystyle A=\{1,2,7\}}$ و ${\displaystyle B=\{6,7,8,11\}}$ مجزا نیستند، چون دارای عضو مشترک ${\displaystyle 7}$ هستند.
• سه مجموعهٔ ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$، ${\displaystyle B=\{4,5\}}$ و ${\displaystyle C=\{5,6,7\}}$ به صورت جفت مجزا نیستند، چون حداقل یکی از اشتراک‌های آن‌ها (${\displaystyle B\cap C}$) مجموعهٔ غیرتهی است.

افراز زیر، افرازی نامتناهی از مجموعه‌های مجزا است که اعداد صحیح را شکل می‌دهند:

${\displaystyle \{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\{4,-4\},\ldots }$.

خصوصیات

• مجموعه تهی ${\displaystyle \emptyset }$ از هر مجموعهٔ دیگر مجزاست.
• ${\displaystyle \{a\}}$ و ${\displaystyle B}$ حتماً مجزا هستند، اگر ${\displaystyle a\notin B}$.
• قدرت یک اجتماع مجزا متناهی برابر است با جمع تک تک قدرت‌ها. برای اجتماع‌های غیر مجزا به فرمول زیب مراجعه کنید.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Disjunkt». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی، بازبینی‌شده در ۱۴ آوریل ۲۰۱۱.