افراز مجموعه

در نظریه مجموعه‌ها اِفراز یک مجموعه (به انگلیسی: Partition of a set) یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه‌هایش به طوری که، اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه‌ها با یکدیگر مجموعه تهی باشد (مجموعه‌های مجزا) و اجتماع تمامی زیر مجموعه‌ها برابر با مجموعه افراز شده باشد.

افراز بر روی دایره

مثال

مجموعه‌های ${\displaystyle P=\left\{\left\{1,5\right\},\left\{2,4,6\right\},\left\{8,9\right\}\right\}}$ افراز مجموعهٔ ${\displaystyle M=\left\{1,2,4,5,6,8,9\right\}}$ می‌باشند، اما برای ${\displaystyle \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}}$ افراز درستی نیستند، زیرا ۳ و ۷ عضوی از زیرمجموعه‌های موجود در ${\displaystyle P}$ نیستند. مجموعه‌های ${\displaystyle \left\{\left\{1,2\right\},\left\{2,3\right\}\right\}}$ افرازی از هیچ مجموعه‌ای نمی‌باشند، چون {1,2} و {2,3} مجموعه‌هایی مجزا نیستند.

افرازهای {1, 2, 3} :

• ${\displaystyle \left\{\left\{1,2,3\right\}\right\}}$
• ${\displaystyle \left\{\left\{1,2\right\},\left\{3\right\}\right\}}$
• ${\displaystyle \left\{\left\{1\right\},\left\{2,3\right\}\right\}}$
• ${\displaystyle \left\{\left\{1,3\right\},\left\{2\right\}\right\}}$
• ${\displaystyle \left\{\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\}\right\}}$

افراز مجموعهٔ تهی، تنها خود مجموعهٔ تهی است.

تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی

برای یافتن تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی از عدد بل ${\displaystyle B_{n}}$ (به یاد اریک تمپل بل) استفاده می‌شود :

${\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad \ldots }$ [1]

پانویس

1. (دنبالهٔ A000110 در OEIS)

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Partition (Mengenlehre)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی، بازبینی‌شده در ۱۳ آوریل ۲۰۱۱.