نقطه حدی

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه‌ای مانند x (درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه‌ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه‌ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد (یعنی شامل خود نقطه x نباشد) همچنین نقطه حدی می‌تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با ^'S نشان می‌دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می‌گوییم.

نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد.

نگاره نقاط دنباله x_n = (-۱)ⁿ·nn+۱ از اعداد گویا را نشان می‌دهد. ۱ و ۱- نقاط حدی آن هستند.

مثال‌ها

نگاره اعداد گویای مثبت را نشان می‌دهد. بنابر قضیه چگالی، هر نقطه در مجموعه اعداد حقیقی یک نقطه حدی مجموعه اعداد گویا است.

• با در نظر گرفتن خط حقیقی ${\displaystyle \mathbb {R} }$، اگر A = (۰٬۱] آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین ۱۲ نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ [۰٬۱] یک نقطه حدی A است؛ ولی هیچ عضو دیگر ${\displaystyle \mathbb {R} }$ نقطه حدی A است.[1]
• یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست.[2]
• مجموعه نامتناهی ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (مجموعه اعداد طبیعی) نقطه حدی ندارد.[3]
• تنها نقطه حدی مجموعهٔ ${\displaystyle A=\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}}$ نقطهٔ ۰ است. هیچ‌یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست.[4]

قضیه‌ها

• فرض کنید (M,d) یک فضای متریک باشد، A ⊆ M و p ∈ M آن‌گاه احکام زیر معادلند:

1. 1. p یک نقطه حدی A است.
   2. هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
   3. دنباله‌ای مانند (x_n) از نقاط A وجود دارد که همواره x_n ≠ p ولی ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=p}$.[5]

دانستنی‌ها

• نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ E ⊂ X نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است.[6]
• هرگاه p ∈ S و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
• S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد.[7]
• S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد.[8]

پانویس

1. مانکرز، توپولوژی، نخستین درس، ۱۲۶.
2. بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
3. بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
4. بارتل و شربرت، آشنایی با آنالیز حقیقی، ۱۲۴.
5. مدقالچی، آنالیز ریاضی ۱، ۱۱۱.
6. رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۵۸.
7. رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.
8. رودین، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.

منابع

• بارتل، رابرت ج.؛ شربرت، دانلد ر. (۱۳۷۸). آشنایی با آنالیز حقیقی. ترجمهٔ طاهر قاسمی هنری و حکیمه ماهیار. تهران: فاطمی. شابک ۹۶۴-۴۸۶-۰۹۰-X.
• رودین، والتر (۱۳۸۵). اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: انتشارات علمی و فنی. شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹.
• مانکرز، جیمز ر. (۱۳۸۹). توپولوژی، نخستین درس. ترجمهٔ جواد لالی و دیگران. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۲۸۳-۱.
• مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.