نابرابری ینسن

نابرابری ینسن نابرابری اساسی در مبحث توابع محدب و مقعر است. این به دلیل عمومیت این نابرابری، خود مبنای بسیاری از نابرابری‌های مهم است، به خصوص در تجزیه و تحلیل و تئوری اطلاعات. این نابرابری بنام ریاضیدان دانمارکی یوهان لودویگ ینسن (به دانمارکی: Johan Ludvig William Valdemar Jensen)، نامگذاری شده و در ۱۷ در ژانویه ۱۹۰۵ در یک کنفرانس مربوط به ریاضیات در دانمارک معرفی شده‌اند.[1] طبق فرضیه‌های دیگری این نابرابری قبل از آن توسط اتو هولدر، (به آلمانی: Otto Hölder) ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۹ استفاده شده.[2]

نابرابری ینسن بر روی نمودار

جملات

بیان

برای یک تابع محدب ${\displaystyle f\;}$ و برای ${\displaystyle \lambda _{i}\;}$ غیر منفی: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1}$، بنابراین:[3][4]

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f\left(x_{i}\right).}$

اثبات استنتاجی

برای هر ${\displaystyle \lambda }$ حقیقی بین ۰ و ۱:[5]

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}$

k_i x_i}{\sum_{i=1}^n k_i}\right)\leq\frac{\sum_{i=1}^n k_i f\left(x_i\right)}{\sum_{i=1}^n k_i}</math>

${\displaystyle f\left(\sum _{i>41}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f\left(x_{i}\right)}$[1]

کاربردها

از نابرابری ینسن در اثبات نابرابری‌های دیگر استفاده می‌شود. به‌طور مثال در اثبات نابرابری میانگین حسابی-هندسی و نابرابری کی فان (به انگلیسی: Ky Fan inequality) از این نابرابری استفاده می‌شود.[6]

پیوند به بیرون

نابرابری ینسن، مؤسسه‌ای بین‌المللی ولفرم ریسرچ

منابع

1. Johan Ludwig William Valdemar Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In Acta Math. 30, Seite 175–193, 1906.
2. Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889. , Nr. 1-21, Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38ff. (in Wikisource, abgerufen am 24. März 2012).
3. Krantz, S. G. "Jensen's Inequality." §9.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 118, 1999.
4. «jensen's inequality». Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research Company. دریافت‌شده در ۱۵ اوت ۲۰۱۳.
5. "23.7 ,Konvexe Funktionen und Ungleichungen" (PDF) (به آلمانی). Universität Duisburg-Essen. Retrieved 15 August 2013.
6. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[[[:de:Jensensche Ungleichung#cite note-Hoelder1889-2]] Jensensche Ungleichung]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی، بازبینی‌شده در ۱۵ اوت ۲۰۱۳.