گراف نسر

در نظریه گراف گراف نسر (به انگلیسی: Kneser graph)،${\displaystyle KG_{n,k}}$، گرافی است که رأس‌های آن نظیر زیرمجموعه‌های k عضوی از یک مجموعه ی n عضوی است. بین دو رأس یک یال وجود دارد اگر و تنها اگر زیرمجموعه‌های نظیر رأس‌ها ناسازگار باشند (اشتراکشان تهی باشد). این گراف‌ها به نام مارتین نسرر نامگذاری شده‌اند که برای اولین بار آنها را در سال ۱۹۵۵ بررسی کرد.

گراف نسر
گراف ${\displaystyle KG_{5,2}}$ با گراف پترسن ایزومورف است.
Named after	Martin Kneser
راس	${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$
ضلع	${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}{\binom {n-k}{k}}/2}$
رنگ‌آمیزی گراف	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}n-2k+2&n\geq 2k\\1&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
ویژگی‌های	گراف منتظم arc-transitive
قراردادهای نوشتاری	KGn,k, K(n,k)

مثال‌ها

• گراف کامل n رأسی گراف نسر ${\displaystyle KG_{n,1}}$ است.
• گراف ${\displaystyle KG_{5,2}}$ با گراف پترسن ایزومورف است.

خصوصیات

• در گراف نسر هر رأس با انتخاب k از n-k رأس دیگر مجاور است.
• همانگونه که نسر حدس زد عدد رنگی گراف ${\displaystyle KG_{n,k}}$ دقیقاً برابر n-2k+۲ است. لوواش در سال ۱۹۷۸ و جاشوآ در سال ۲۰۰۲ برای این فرمول اثبات‌هایی توپولوژیکی ارائه دادند. در سال ۲۰۰۴ ماتوشک اثباتی کاملاً ترکیبیاتی برای آن پیدا کرد.
• وقتی n بزرگتر مساوی ۳k باشد گراف نسر همیشه دور هامیلتونی خواهد داشت (چن ۲۰۰۰). محاسبات نشان داده‌اند که همهٔ گراف‌های همبند کنزر با nهای کوچکتر مساوی ۲۷ به جز گراف پترسن، همیلتونی هستند.
• اگر n کوچکتر از ۳k باشد گراف نسر هیچ مثلثی نخواهد داشت.

منابع

• Wikipedia contributors, "Kneser graph," Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kneser_graph&oldid=666391233 (accessed July 8, 2015).
• Douglas B.West (۲۰۰۳). Introduction to graph theory. Prentice-Hall-India.

پیوند به بیرون

• Weisstein, Eric W. "Kneser Graph". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Odd Graph". MathWorld.