اعداد اول فیبوناتچی

اعداد اول فیبوناچی به آن گروه از اعداد فیبوناچی گویند که خود عدد اول هم باشند و آن را با ${\displaystyle F_{P}}$ نمایش می دهند.

دنباله اعداد اول فیبوناچی

${\displaystyle 3,5,7,13,17,23,29,43,47,83,131,137,359,431,433,449,509,569,571,2971,4723}$

یکی از مسایل حل نشده ریاضیات این است که آیا تعداد اعداد اول فیبوناچی بی نهایت است یا نه؟

روابط اعداد اول فیبوناچی

می دانیم که جمله عمومی اعداد فیبوناتچی به شکل زیر است:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}\,,}$

همچنین هم ارزی زیر برای جمله عمومی اعداد اول صادق است.

${\displaystyle P(n)\sim \ n\ln(n)}$

و می دانیم که جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی از اشتراک جمله عمومی اعداد اول و اعداد فیبوناتچی به دست می‌آید یعنی:

${\displaystyle F_{P_{n}}=F_{n}\cap P_{n}}$

پس برای بدست آوردن جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی باید معادله زیر را حل کرد

${\displaystyle P_{n}=F_{n}}$

که از آن نتیجه می‌شود.

${\displaystyle n=P^{-1}\left(\,F_{n}\,\right)=\pi (F_{n})}$

پس جواب معادله ما که همان جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی است برابر با ${\displaystyle \pi (F_{n})}$ است یعنی:

${\displaystyle F_{P_{n}}=\pi (F_{n})}$

می دانیم:${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!}$

پس اگر قرار باشد تعداد اعداد اول فیبوناتچی بی‌نهایت باشد آنگاه:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{P_{n}}}{\frac {F_{n}}{ln(F_{n})}}}=1}$

و می دانیم: ${\displaystyle F_{n}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}\ }$

پس

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{P_{n}}}{\frac {{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}{ln({{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}})}}}=1}$

پس:

${\displaystyle {F_{P_{n}}}\sim \ {\frac {{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}{ln({{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}})}}}$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Fibonacci prime». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

«اعداد فیبوناتچی بدست می‌آیند از یک تقسیم طولانی» عباس روح الامینی، مجله علمی اسپکتروم انگلستان، آگوست ۲۰۰۸