اعداد موافق

اعداد موافق (به انگلیسی: amicable numbers) دو عدد هستند که جمع مقسوم علیههای یکی به غیر از خودش برابر دیگری باشد.

اعداد موافق، "دنبالهٔ عادکننده” ای (به انگلیسی: aliquot sequence) با دو جمله تشکیل می‌دهند. (دنبالهٔ عادکننده دنباله ای است که هر عدد مجموع مقسوم علیههای عدد قبلی، غیر از خودش، می‌باشد) درضمن، یک "عدد کامل" (به انگلیسی: perfect number)(که خودش مجموع مقسوم علیههایش، به غیر از خودش، می‌باشد) یک دنبالهٔ عادکننده یک جمله ای تشکیل می‌دهد. اعدادی که جزوی از دنبالهٔ عادکننده ای با تعداد جملات بیش از ۲ هستند، “اعداد اجتماعی”(به انگلیسی: sociable numbers) نامیده می‌شوند.

اولین زوج‌های موافق به ترتیب عبارت اند از: (۲۲۰، ۲۸۴), (۱۱۸۴، ۱۲۱۰), (۲۶۲۰، ۲۹۲۴), (۵۰۲۰، ۵۵۶۴), (۶۲۳۲، ۶۳۶۸)

تاریخچه

اعداد موافق نزد پیروان مکتب فیثاغوری شناخته شده بودند و آن‌ها به این اعداد ویژگی‌های عرفانی نسبت داده بودند.

فرمولی کلی برای یافتن این اعداد توسط ثابت بن قره(۲۲۱-۲۲۸ق) کشف شد. ریاضی دانان عرب دیگری چون مسلمه المجریطی (۳۵۰-۴۰۹ ه. ق)، ابن طاهر بغدادی (۳۶۹- ۴۲۸ ه. ق.) و کمال‌الدین فارسی (۶۶۵- ۷۱۸ ه. ق.) نیز در مورد اعداد موافق مطالعه کردند.

ریاضی دان ایرانی، محمد باقر یزدی، زوج (۹۳۶۳۵۸۴، ۹۴۳۷۰۵۶) را یافت، علی‌رغم اینکه کشف این زوج معمولاً به دکارت نسبت داده شده.

قاعده ثابت بن قره دوباره توسط پییر دو فرما (۱۶۰۱–۱۶۶۵ م.) و دکارت (۱۵۹۶– ۱۶۵۰ م.) کشف شد که معمولاً به آن‌ها نسبت داده شده‌است. این قاعده بعدها توسط لئونارد اویلر کامل تر شد و در سال ۱۹۷۰ توسط "بورهو" (به انگلیسی: Borho) باز هم کامل تر شد. پییر دو فرما و دکارت همچنین زوج‌هایی موافق را کشف کردند که قبل تر توسط ریاضی دانان عرب کشف شده بود. کوچکترین زوج بعدی، (۱۱۸۴، ۱۲۱۰) در سال ۱۸۶۶ توسط B. Nicolò I. Paganini کشف شد.

در سال ۱۹۴۶، ۳۹۰ زوج کشف شده بودند اما ظهور کامپیوتر، کشف هزاران زوج دیگر را میسر کرد. در سال ۲۰۰۷ حدود ۱۲٬۰۰۰٬۰۰۰ زوج شناخته شده بودند.

یافتن اعداد موافق

برای یافتن اعداد موافق، قواعدی کشف شده‌اند که می‌توان با آن‌ها تعدادی از زوج‌های موافق را پیدا کرد.

قاعده “ثابت بن قره”

اولین قاعده “قاعده ثابت بن قره” هست[1] که طبق آن:

   p = ۳ × ۲n − ۱ − ۱,
   q = ۳ × ۲n − ۱,
   r = ۹ × ۲۲n − ۱ − ۱

که در آن، n>۱ عدد صحیح و p و q و r عدد اولاند. در نتیجه ۲ⁿ×p×q و ۲ⁿ×r زوجی موافق‌اند. این قاعده، زوج‌های (۲۲۰، ۲۸۴) (۱۷۲۹۶، ۱۸۴۱۶) (۹۳۶۳۵۸۴، ۹۴۳۷۰۵۶) به ترتیب با nهای ۲، ۴ و ۷ را بدست می‌دهد، ولی هیچ زوج موافق دیگری هنوز با آن پیدا نشده.

اعدادی به شکل ۳ × ۲n − ۱ به “اعداد ثابت” (منظور از ثابت، ثابت بن قره هست) معروف‌اند. برای این که این قاعده یک زوج موافق بدست بدهد، دو عدد ثابت متوالی باید عدد اول باشند.

قاعده “اویلر”

قاعده اویلر حالت کلی تر قاعده “ثابت بن قره” است.

   p = (۲(n - m)+۱) × ۲m − ۱,
   q = (۲(n - m)+۱) × ۲n − ۱,
   r = (۲(n - m)+۱)۲ × ۲m + n − ۱,

در این فرمول، n>m>۰ عدد صحیح و p و q و r عدد اولاند. ۲ⁿ×p×q و ۲ⁿ×r نیز زوجی موافق اند که بدست می‌آیند.

قاعده “ثابت بن قره” مشابه حالتی از قاعده اویلر است که m=n-۱.

با قاعده اویلر، دو زوج (۱٬۸), (۲۹٬۴۰) نیز پیدا شده‌اند اما هنوز هیچ زوج دیگری به وسیلهٔ این قاعده یافته نشده‌است.

استفاده از “رایانه”

البته امروزه می‌توان به وسیلهٔ رایانه، تک تک اعداد طبیعی را برای داشتن این شرط بررسی کرد: کد چنین برنامه‌ای در زبان c# به شکل زیر است:
(به انگلیسی: )

class Program

   {
       static Int64 Sum1(Int64 unknum1)
       {
           Int64 s = 0;
           for (int i = 1; i <unknum1; i++)
           {
               if (unknum1 % i == 0)
               {
                   s = s + i;
               }
           }
           unknum1 = s;
           return unknum1;
       }
       static void Main(string[] args)
       {
           Console.WriteLine("Wellcome  , Amicable Numbers");
           Int64 blvd1 = 1;
           for (int i = 0; i> -99; i++)
           {
               if (blvd1 <Sum1(blvd1))
               {
                   blvd1 = Sum1(blvd1) + 1;
               }
               else
               {
                   blvd1++;
               }
               while (blvd1 != Sum1(Sum1(blvd1)))
               {
                   blvd1++;
               }
               Console.WriteLine("{1}  :  {0}", Sum1(blvd1), Sum1(Sum1(blvd1)));
            
               if (i>= 11)
               {
                   Console.WriteLine("Please wait a little , next number is too large to be calculate fast");
                   Console.WriteLine("Wait...");
               }
           }

خروجی برنامه بدین شرح است خواهد بود وتا اعداد بسیار بزرگتر را نیز به مرور زمان بررسی خواهد کرد اما هرچه اعداد بزرگتر می‌شوند، زمان مورد نیاز برای بررسی اعداد بسیار بیشتر می‌شود:

6 : 6
28 : 28
220 : 284
496 : 496
1184 : 1210
2620 : 2924
5020 : 5564
6232 : 6368
8128 : 8128
10744 : 10856
12285 : 14595
17296 : 18416

Please wait a little , next number is too large to be calculate fast

Wait...

زوج‌های باقاعده

اگر (m,n) زوجی موافق باشد که m>n آنگاه m=gM و n=gNرا در نظر بگیرید که g بزرگترین مقسوم علیه مشترک m و n است. اگر M و N هردو نسبت به g متباین و همچنین هردو بر هیچ مربع کاملی بخش پذیر نباشند (به عددی که به هیچ مربع کاملی بخش پذیر نیست، square free numbers می‌گویند)، این زوج موافق، با قاعده و در غیر این صورت بی قاعده‌است.

اگر (m,n) زوجی با قاعده باشد و i و j به ترتیب عوامل اول M و N باشند، آنگاه (m,n) زوجی از نوع (i,j) نامیده می‌شود. مثلاً اگر(m,n)=(۲۲۰٬۲۸۴)، بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن‌ها ۴ است، پس M=۵۵ و N=۷۱ می‌باشند، پس (۲۲۰، ۲۸۴) زوجی با قاعده از نوع (۲، ۱)می‌باشد.

نتایج دیگر

1. تمام روج‌های موافق شناخته شده، یا هردو زوج یا هردو فرد اند، هنوز نمی‌دانیم که آیا زوجی موافق به صورت زوج-فرد وجود دارد یا خیر. اگر چنین زوجی وجود داشته باشد، عدد زوج باید یک مربع کامل یا دو برابر آن باشد و عدد فرد نیز، یک مربع کامل باشد.
2. اعداد هر زوج، حد اقل یک عامل مشترک بزرگتر از یک دارند.
3. هنوز نمی‌دانیم آیا زوج موافق متباینی وجود دارد یا خیر، ولی اگر چنین باشد، حاصلضرب آن دو باید بیشتر از ۱۰^۶۷ باشد، درضمن چنین زوجی نمی‌تواند از قاعده “ثابت بن قره” یا قاعده‌ای مشابه بدست آمده باشد.

پانویس

1. [Thâbit ibn Kurrah rule http://mathworld.wolfram.com/ThabitibnKurrahRule.html]

منابع

• این مقاله برگرفته از بریتانیکا، ويراست یازدهم است که در حال حاضر حقوق نشر آن در مالکیت عمومی قرار دارد.

• Wells, D. (۱۹۸۷). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (pp.  ۱۴۵–۱۴۷). London: Penguin Group.
• Weisstein, Eric W. "Amicable Pair". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Rule". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Euler's Rule". MathWorld.