فرمول عدد رده‌ای

در نظریه اعداد، فرمول عدد رده‌ای (به انگلیسی: Class Number Formula)، بین ناورداهای مهمی از یک میدان عددی و یک مقدار خاص از تابع زتای ددکیند آن میدان عددی، ارتباط برقرار می‌سازد.

حکم کلی

ما با این داده‌ها آغاز می‌کنیم:

• ${\displaystyle K}$ یک میدان عددی است.
• ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=n=r_{1}+2r_{2}}$ که در آن ${\displaystyle r_{1}}$ تعداد نشاندن‌های حقیقی ${\displaystyle K}$، و ${\displaystyle 2r_{2}}$ تعداد نشاندن‌های مختلط ${\displaystyle K}$ است.
• ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ تابع زتای ددکیند ${\displaystyle K}$ است.
• ${\displaystyle h_{K}}$ رده عددی است، یعنی تعداد اعضای گروه رده ایده‌آل ${\displaystyle K}$.
• ${\displaystyle Reg_{k}}$ تنظیم‌کننده ${\displaystyle K}$.
• ${\displaystyle w_{K}}$ تعداد ریشه‌های واحدی است که در ${\displaystyle K}$ وجود دارند.
• ${\displaystyle D_{K}}$ مشخصه توسیع ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ است.

آنگاه:

قضیه (فرمول عدد رده‌ای). ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ برای ${\displaystyle Re(s)>1}$ به‌طور مطلق همگراست و به تابع مرومورفی توسعه می‌یابد که برای تمام sهای صفحه مختلط تعریف شده به جز قطب ساده ای در ${\displaystyle s=1}$ که دارای مانده زیر است:

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

این کلی‌ترین «فرمول عدد رده‌ای» است. در موارد خاص، به عنوان مثال زمانی که ${\displaystyle K}$ توسیعی دوری از ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ باشد، فرمول‌های عدد رده‌ای ظریف تر و خاص تری وجود دارند.

منابع

• W. Narkiewicz (1990). Elementary and analytic theory of algebraic numbers (2nd ed.). Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. pp. 324–355. ISBN 3-540-51250-0.

This article incorporates material from Class number formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.