فضای تی۱

در توپولوژی، فضای ${\displaystyle T_{1}}$، فضایی است که در آن هر دو نقطه مجزا دارای همسایگی هستند که دیگری در آن قرار ندارد.[1] همچنین یک فضارا ${\displaystyle R_{0}}$ گویند اگر خاصیت اخیر برای هر دو نقطه ای که از نظر توپولوژیکی متمایزند (دو نقطه را از نظر توپولوژیکی متمایز گویند اگر همسایگی شامل یکی وجود داشته باشد که دیگری را در بر نداشته باشد) برقرار باشد.

اصول جداسازی در فضاهای توپولوژی
طبقه بندی کولموگوروف
${\displaystyle T_{0}}$	(کولموگوروف)
${\displaystyle T_{1}}$	(فرشه)
${\displaystyle T_{2}}$	(هاسدورف)
${\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}$	(اوریسون)
کاملاً ${\displaystyle T_{2}}$	(کاملاً هاسدورف)
${\displaystyle T_{3}}$	(هاسدورف منظم)
${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$	(تیخونوف)
${\displaystyle T_{4}}$	(هاسدورف نرمال)
${\displaystyle T_{5}}$	(کاملاً نرمال/هاسدورف)
${\displaystyle T_{6}}$	(نرمال بی‌نقص/هاسدورف)
تاریخچه

تعاریف

فرض کنید ${\displaystyle X}$ یک فضای توپولوژیکی باشد و ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ نقاطی از ${\displaystyle X}$ باشند. می گوییم ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ جدا شده اند اگر هر کدام در همسایگی قرار گیرد که دیگری در آن همسایگی واقع نشده باشد.

خواص

اگر ${\displaystyle X}$ یک فضای توپولوژیکی باشد آنگاه شرایط زیر با هم معادلند:

1. ${\displaystyle X}$ یک فضای ${\displaystyle T_{0}}$ است.
2. ${\displaystyle X}$ یک فضای ${\displaystyle T_{0}}$ و ${\displaystyle R_{0}}$ است.
3. تمام نقاط در ${\displaystyle X}$ بسته اند. یعنی برای هر ${\displaystyle x\in X}$، مجموعه تک عضوی ${\displaystyle \{x\}}$ بسته است.

یک فضای ${\displaystyle T_{1}}$ را فضای دست‌یافتنی یا توپولوژی فرشه گویند و فضای ${\displaystyle R_{0}}$ را فضای متقارن نامند. (عبارت فضای فرشه را برای معنای کاملاً متفاوتی در آنالیز تابعی نیز به کار می برند. به همین دلیل، عبارت فضای ${\displaystyle T_{1}}$ ترجیح داده می شود. همچنین مفهومی به نام فضای اوریسون-فرشه وجود دارد که نوعی فضای دنباله ای است. همچنین عبارت فضای متقارن نیز معنای دیگری در منیفلدهای شبه-ریمانی دارد).

پانویس

1. Arkhangel'skii (1990). See section 2.6.

منابع

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
• Willard, Stephen (1998). General Topology. New York: Dover. pp. 86–90. ISBN 0-486-43479-6.
• Folland, Gerald (1999). Real analysis: modern techniques and their applications (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 116. ISBN 0-471-31716-0. Text "en" ignored (help)
• A.V. Arkhangel'skii, L.S. Pontryagin (Eds.) General Topology I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «T1 Space». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.