فضاهای اوریسون و کاملاً هاسدورف

در توپولوژی، فضای اوریسون (به انگلیسی: Urysohn Space) یا فضای ${\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}$، فضای توپولوژیکی است که در آن هر دو نقطه را می توان توسط همسایگی های بسته از هم جدا کرد. فضای کاملاً هاسدورف یا فضای هاسدورف تابعی، فضایی توپولوژیکی است که در آن هر دو نقطه مجزا را بتوان توسط یک تابع پیوسته ای از هم جدا کرد. این شرط، از اصول موضوعه معروف تر هاسدورف ${\displaystyle T_{2}}$ قوی تر است.

اصول جداسازی در فضاهای توپولوژی
طبقه بندی کولموگوروف
${\displaystyle T_{0}}$	(کولموگوروف)
${\displaystyle T_{1}}$	(فرشه)
${\displaystyle T_{2}}$	(هاسدورف)
${\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}$	(اوریسون)
کاملاً ${\displaystyle T_{2}}$	(کاملاً هاسدورف)
${\displaystyle T_{3}}$	(هاسدورف منظم)
${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$	(تیخونوف)
${\displaystyle T_{4}}$	(هاسدورف نرمال)
${\displaystyle T_{5}}$	(کاملاً نرمال/هاسدورف)
${\displaystyle T_{6}}$	(نرمال بی‌نقص/هاسدورف)
تاریخچه

تعاریف

فرض کنید ${\displaystyle X}$ یک فضای توپولوژی باشد و ${\displaystyle x,y}$ نقاطی از ${\displaystyle X}$.

• می گوییم ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ را می توان توسط همسایگی های بسته جداسازی کرد اگر همسایگی بسته ${\displaystyle U}$ از ${\displaystyle x}$ و همسایگی بسته ${\displaystyle V}$ از ${\displaystyle Y}$ چنان موجود باشند که ${\displaystyle U}$ و ${\displaystyle V}$ مجزا باشند (یعنی ${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$). (منظور از "همسایگی بسته از ${\displaystyle x}$" در اینجا، مجموعه ای بسته شامل مجموعه ای باز است که آن مجموعه باز شامل ${\displaystyle x}$ است)
• می گوییم ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ را می توان توسط یک تابع جداسازی شده اند اگر تابع پیوسته ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \left[0,1\right]}$ وجود داشته باشد چنان که ${\displaystyle f(x)=0}$ و ${\displaystyle f(y)=1}$.

فضای اوریسون که به آن فضای ${\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}$ یا فضای ${\displaystyle T_{e}}$ نیز گفته می شود، فضایی است که در آن هر دو نقطه متمایز را بتوان به کمک همسایگی های بسته از هم جداسازی کرد.

فضای کاملاً هاسدورف یا فضای هاسدورف تابعی، تابعی است که در آن هر دو نقطه متمایز را بتوان توسط تابع پیوسته ای از هم جداسازی کرد.

منابع

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Dover Books on Mathematics (First ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
• Completely Hausdorff at PlanetMath.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Urysohn and completely Hausdorff spaces». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.