فضای تیخونوف

در توپولوژی، فضاهای تیخونوف (به انگلیسی: Tychonoff Spaces) و فضاهای کاملاً منظم انواعی از فضاهای توپولوژیکی اند. این شرایط مثال هایی از اصول جداسازی می باشند.

اصول جداسازی در فضاهای توپولوژی
طبقه بندی کولموگوروف
${\displaystyle T_{0}}$	(کولموگوروف)
${\displaystyle T_{1}}$	(فرشه)
${\displaystyle T_{2}}$	(هاسدورف)
${\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}$	(اوریسون)
کاملاً ${\displaystyle T_{2}}$	(کاملاً هاسدورف)
${\displaystyle T_{3}}$	(هاسدورف منظم)
${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$	(تیخونوف)
${\displaystyle T_{4}}$	(هاسدورف نرمال)
${\displaystyle T_{5}}$	(کاملاً نرمال/هاسدورف)
${\displaystyle T_{6}}$	(نرمال بی‌نقص/هاسدورف)
تاریخچه

فضاهای تیخونوف به نام آندری نیکولایویچ تیخونوف نامگذاری شده که نام روسی او Тихонов است که در انگلیسی به صورت های "Tychonov" یا "Tikhonov" یا "Tihonov" یا "Tichonov" و ... در متون نوشته می شود. او کسی بود که این فضاها را در ۱۹۳۰ میلادی به منظور اجتناب از حالت های مشکل دار (پاتولوژیکال) فضاهای هاسدورف معرفی کرد، حالت هایی که تنها توابع حقیقی مقدار پیوسته آن فضاها، نگاشت های ثابت اند.[1]

تعاریف

جداسازی یک نقطه از مجموعه ای بسته از طریق تابعی پیوسته.

فضایی چون ${\displaystyle X}$ را کاملاً منظم گویند اگر بتوان نقاط آن را با مجموعه های بسته و به کمک توابع پیوسته حقیقی مقدار بتوان جداسازی کرد. به بیان دقیق تر یعنی: برای هر مجموعه بسته ${\displaystyle A\setminus X}$ و هر نقطه ${\displaystyle x\in X\setminus A}$، وجود داشته باشد تابع پیوسته حقیقی-مقداری چون ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$، چنان که ${\displaystyle f(x)=1}$ و ${\displaystyle f\vert _{A}=0}$ . (به طور معادل، می توان تعریف را به گونه ای تغییر داد که تابع ${\displaystyle f}$ به جای ۰ و ۱ هر دو مقدار دیگری را اختیار کند، یا حتی کاری کرد که ${\displaystyle X}$ کراندار باشد.)

یک فضای توپولوژی را فضای تیخونوف (یا فضای ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$ یا فضای ${\displaystyle T_{\pi }}$ یا فضای کاملاً ${\displaystyle T_{3}}$) گویند اگر یک فضای هاسدورف کاملاً منظم باشد.

نکته: فضاهای کاملاً منظم و تیخونوف از طریق مفهوم هم ارزی کولموگوروف مرتبط اند. یک فضای توپولوژیکی تیخونوف است اگر هم کاملاً منظم باشد و هم ${\displaystyle T_{0}}$ (فضای کولموگوروف). از سوی دیگر، یک فضا کاملاً منظم است اگر و تنها اگر خارج قسمت کولموگوروف آن تیخونوف باشد.

پانویس

1. Narici & Beckenstein 2011, p. ۲۴۰.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Tychonoff Space». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

منابع

• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1960). Rings of continuous functions. Graduate Texts in Mathematics, No. 43 (Dover reprint ed.). NY: Springer-Verlag. p. xiii. ISBN 978-048681688-3.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Willard, Stephen (1970). General Topology (Dover reprint ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.