تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی (به انگلیسی: Cumulative distribution function) یا تابع توزیع انباشتی تابعی است غیر صفر و هم نوای صعودی که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد،[1] یعنی ${\displaystyle x\to F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$[2]

تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .

تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:

${\displaystyle P(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.}$[3]

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

${\displaystyle \Pr(X=x)=F(x_{0})-F(x_{0}-),}$

که در اینجا ${\displaystyle F(x_{0}-)}$ به معنی حد چپ تابع ${\displaystyle F_{X}(x)}$ است وقتی که ${\displaystyle x}$ به ${\displaystyle x_{0}}$ میل می‌کند[1]

خواص تابع توزیع تجمعی

• تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

$${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\sum _{t\leq x}f(t)}$$

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته

• تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

$${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{t\leq x}f(t)dt}$$

• تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.
• ${\displaystyle 0\leq F_{X}(x)\leq 1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1}$[1]
• اگر ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ باشد، آنگاه :

$${\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2})}$$

• ${\displaystyle P(X>x)=1-F_{X}(x)}$
• ${\displaystyle P(x_{1}<x\leq x_{2})=F_{X}(x_{2})-F_{X}(x_{1})}$
• اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

$${\displaystyle F_{X}(M)=\int _{-\infty }^{M}f(x)dx={\frac {1}{2}}}$$

و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.[4]

مثال

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:[5]

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\x+1&-1<x\leq 0\\\\1-x&0<x<1\\\\0&x\geq 1\end{cases}}}$$

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

• 
  نمودار تابع چگالی احتمال این مثال

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\{\frac {1}{2}}(x+1)^{2}&-1<x\leq 0\\\\1-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}&0<x<1\\\\1&x\geq 0\end{cases}}}$$

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی این مثال

تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع

در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

توزیع طبیعی استاندارد

تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای ℝ ${\displaystyle x\in }$ به شکل زیر تعریف می‌شود :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$${\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\mathrm {erf} }\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!}$$

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای توزیع طبیعی استاندارد

توزیع پواسون

تابع چگالی احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...} ${\displaystyle k\in }$ و ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ به شکل زیر تعریف می‌شود:

$${\displaystyle f(x)={\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$${\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}={\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}}$$

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه پواسون

توزیع نمایی

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای ${\displaystyle x\geq 0}$ به شکل زیر تعریف می‌شود :

$${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$${\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int \lambda e^{-\lambda x}=1-e^{-\lambda x}}$$

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه نمایی

تابع توزیع تجمعی برای توابع توام

تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:

$${\displaystyle F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},...,X_{n}\leq x_{n})}$$

با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره ${\displaystyle f_{XY}(x,y)}$ به این شکل خواهد بود:

$${\displaystyle F_{XY}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}$$

ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

• ${\displaystyle 0\leq F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\leq 1}$
• ${\displaystyle \lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to -\infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to \infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=1}$
• ${\displaystyle P(x_{1}<x\leq x_{2},y_{1}<y\leq y_{2})=F_{XY}(x_{2},y_{2})-F_{XY}(x_{1},y_{2})-F_{XY}(x_{2},y_{1})+F_{XY}(x_{1},y_{1})}$[6]

منابع

1. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cumulative_distribution_function&oldid=437556047
2. Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, ISBN 0-471-60090-3.
3. Introduction to Probability Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition
4. «نسخه آرشیو شده» (PDF). بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۳۱ اکتبر ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸.
5. «نسخه آرشیو شده». بایگانی‌شده از اصلی در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸.
6. https://www.probabilitycourse.com/chapter5/5_2_2_joint_cdf.php