توزیع احتمال توأم

توزیع احتمال توأم یا توزیع احتمال مشترک (به انگلیسی: Joint probability distribution) در بحث احتمالات مطرح می‌شود که در آن پدیدهٔ مورد نظر با مجموعه‌ای از متغیّرهای تصادفی که با آن در ارتباط هستند تفسیر و تغییرات این متغیرها در ارتباط با یکدیگر و به صورت توأم (مشترک) بررسی می‌شود. در بسیاری موارد علاقه‌مند هستیم که دو یا چند متغیر تصادفی را همزمان مطالعه کنیم. در این ارتباط برای هر دو متغیر تصادفی ${\displaystyle \ x}$ و ${\displaystyle \ y}$ تابع توزیع تجمعی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم

${\displaystyle \ F_{X,Y}(a,b)=p\{X<=a,y<=b\},,-\infty <a,b<\infty }$

بخشی از مجموعه مباحث درباره آمار
نظریهٔ احتمالات
اصول احتمال
فضای احتمالی ‏(en)‏ * فضای نمونه * پیشامد ابتدایی ‏(en)‏ * پیشامد * اندازه احتمالاتی ‏(en)‏
پیشامد مکمل ‏(en)‏ * توزیع احتمال توأم * توزیع حاشیه‌ای ‏(en)‏ * احتمال شرطی
متغیرهای تصادفی مستقل * استقلال شرطی ‏(en)‏ * قانون احتمال کامل * قانون اعداد بزرگ * قضیه بیز * نابرابری بول ‏(en)‏
نمودار ون * نمودار درختی

تابع توزیع تجمعی ${\displaystyle \ x}$ را می‌توان از تابع توزیع تجمعی مشترک به صورت زیر بدست آورد

${\displaystyle \ F_{x}(a)=p\{X<=a,y<=\infty \}=F(a,\infty ),,-\infty <a,b<\infty }$

به این ترتیب می‌توان بدست آورد

${\displaystyle \ p\{X>a,Y>b\}=1-F_{X}(a)-F_{Y}(b)+F(a,b)}$

خواص مربوط به توزیع مشترک

۱. در حالت توزیع پیوسته داریم

${\displaystyle \ p\{X\leq y\leq b\}=\int _{-\infty }^{a}\int _{-\infty }^{b}f(x,y)dxdy}$

۲. با مشتق‌گیری جزئی درمی‌یابیم

${\displaystyle \ f(a,b)={\tfrac {d^{2}}{dadb}}F(a,b)}$

۳.${\displaystyle \ f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }}$

۴. ${\displaystyle \ p\{a<X<a+da,b<y<=b+db\}=\int _{b}^{b+db}\int _{a}^{a+da}f(x,y)dxdy~f(a,b)dadb}$

استقلال متغیرهای تصادفی

متغیرهای تصادفی ${\displaystyle \ X}$و${\displaystyle \ Y}$ را مستقل می‌گویند اگر برای هر دو مجموعه از اعداد حقیقی ${\displaystyle \ A}$و${\displaystyle \ B}$ داشته باشیم

${\displaystyle \ p\{X\in A,y\in B\}=p\{X\in A\}p\{y\in B\}}$

این تعریف را می‌توان بر اساس تابع توزیع تجمعی مشترک هم بیان کرد

${\displaystyle \ F(a,b)=F_{X}(a)F_{Y}(b)}$

تعمیم این رابطه به حالت پیوسته به شکل زیر است

${\displaystyle \ f(y,x)=f_{X}(x)f_{Y}(y)}$

به عبارت دیگر ${\displaystyle \ X}$، ${\displaystyle \ Y}$ مستقل خواهند بود اگر با دانستن یکی از آنها تغییری در توزیع دیگری حاصل نشود.

مجموع متغیرهای تصادفی

معمولاً محاسبهٔ توزیع ${\displaystyle \ X+Y}$ دارای اهمیت خاصی است. رابطه تابع تجمعی به شکل زیر است

${\displaystyle \ F_{X+Y}(a)=p\{X+Y<=a\}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{a-Y}f_{X}(x)f_{Y}(y)dxdy}$

یعنی تابع توزیع تجمعی از پیچش توزیعهای ${\displaystyle \ Y}$و${\displaystyle \ X}$ به دست می آید.

اگر از رابطه بالا مشتق بگیریم تابع چگالی بدست می آید

${\displaystyle \ f_{X+Y}(a)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(a-y)f_{Y}(y)dy}$

خاصیت مهم

اگر ${\displaystyle \ X_{i}}$‌ها متغیرهای تصادفی مستقل نرمال با پارامترهای ${\displaystyle \ (u_{i},\sigma ^{2})}$ باشند آنگاه ${\displaystyle \ \sum _{i=1}^{N}x_{i}}$ دارای توزیع نرمال با پارامترهای ${\displaystyle \ \sum _{i=1}^{N}u_{i}}$ و ${\displaystyle \ \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{2}}$ است.

توزیع‌های شرطی

برای محاسبه توزیع شرطی در حالت گسسته به شکل زیر عمل می‌کنیم:

${\displaystyle \ p_{X|Y}(x|y)=p\{X=x|Y=y\}={\tfrac {p\{X=x,Y=y\}}{p\{Y=y\}}}}$

همچنین برای محاسبه توزیع‌های شرطی در حالت پیوسته می‌توان به شکل زیر عمل کرد

${\displaystyle \ f_{X|Y}(x|y)={\tfrac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$

و برای محاسبه تابع توزیع تجمعی

${\displaystyle \ F_{X|Y}(a|y)=p\{X<=a|Y=y\}=\int _{-\infty }^{a}f_{X|Y}(x|y)dx}$

جستارهای وابسته

• متغیر تصادفی
• تابع چگالی احتمال
• احتمال شرطی

منابع

• مبانی احتمال، شلدون راس، ترجمه دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی، ویرایش ششم