توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته

نظریه مقدار حدی برای مدل کردن بیشترین یا کمترین مقدار تعدادی از داده‌های تصادفی بکار می‌رود. به‌طور کل سه نوع مقدار حدی وجود دارد که توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته هر سه گروه را دربرمی‌گیرد. این توزیع دارای سه پارامتر مکان ${\displaystyle \mu }$، مقیاس ${\displaystyle \sigma }$ و شکل ${\displaystyle \xi }$ است. زمانی که ${\displaystyle \xi <0}$ آنگاه توزیع مقدار حدی معادل مقدار حدی نوع سوم است. وقتی که ${\displaystyle \xi >0}$ توزیع مقدار حدی معادل مقدار حدی نوع دوم است. وقتی مقدار ${\displaystyle \xi }$ به سمت صفر میل می‌کند توزیع مقدار حدی به مقدار حدی نوع اول میل می‌کند.[1]

Generalized extreme value

فراسنجه‌ها	${\displaystyle \mu \in [-\infty ,\infty ]\,}$ محل (حقیقی) ${\displaystyle \sigma \in (0,\infty ]\,}$ اندازه (حقیقی) ${\displaystyle \xi \in [-\infty ,\infty ]\,}$ محل (حقیقی)
تکیه‌گاه	${\displaystyle x>\mu -\sigma /\xi \,\;(\xi >0)}$ ${\displaystyle x<\mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}$ ${\displaystyle x\in [-\infty ,\infty ]\,\;(\xi =0)}$
تابع چگالی احتمال	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1\!+\!\xi z)^{-1/\xi -1}e^{-(1\!+\!\xi z)^{-1/\xi }}}$ که ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$
تابع توزیع تجمعی	${\displaystyle e^{-(1+\xi z)^{-1/\xi }}}$
میانگین	${\displaystyle \mu -{\frac {\sigma }{\xi }}+{\frac {\sigma }{\xi }}g_{1}}$ که ${\displaystyle g_{k}=\Gamma (1-k\xi )}$
میانه	${\displaystyle \mu +\sigma {\frac {\ln ^{-\xi }(2)-1}{\xi }}}$
مُد	${\displaystyle \mu +\sigma {\frac {(1+\xi )^{-\xi }-1}{\xi }}}$
واریانس	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}(g_{2}-g_{1}^{2})}$
چولگی	${\displaystyle {\frac {-g_{3}+3g_{1}g_{2}-2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}}$
کشیدگی	${\displaystyle {\frac {g_{4}-4g_{1}g_{3}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}}$

توزیع مقدار حدی عمومی در نظریه احتمال و آمار از خانواده توزیع‌های پیوسته‌است. این توزیع از ترکیب توزیع‌های گامبل فریشه و ویبل ساخته شده‌است.

جستارهای وابسته

• توزیع گامبل

منابع

1. جعبه‌ابزار آمار متلب

• http://elsa.berkeley.edu/wp/mcfadden0403.pdf