توزیع گاما

توزیع گاما یکی از توزیع‌های احتمالی پیوسته است و دارای دو پارامتر مقیاس θ، و پارامتر شکل k می‌باشد. اگر k عددی طبیعی باشد آنگاه توزیع گاما معادل است با مجموع k متغیر تصادفی با توزیع نمایی با پارامتر ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$.

گاما

تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی
فراسنجه‌ها	${\displaystyle k>0\,}$ شکل (حقیقی) مقیاس (حقیقی) ${\displaystyle \theta >0\,}$
تکیه‌گاه	${\displaystyle x\in [0;\infty )\!}$
تابع چگالی احتمال	${\displaystyle x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!}$
تابع توزیع تجمعی	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!}$
میانگین	${\displaystyle k\theta \,\!}$
میانه	رابطه ساده صریح برای این پارامتر وجود ندارد
مُد	${\displaystyle (k-1)\theta {\text{ for }}k\geq 1\,\!}$
واریانس	${\displaystyle k\theta ^{2}\,\!}$
چولگی	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!}$
کشیدگی	${\displaystyle {\frac {6}{k}}\,\!}$
آنتروپی	${\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!}$ ${\displaystyle +(1-k)\psi (k)\!}$
تابع مولد گشتاور	${\displaystyle (1-\theta \,t)^{-k}{\text{ for }}t<1/\theta \,\!}$
تابع مشخصه	${\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!}$

تعریف

تابع چگالی احتمال به صورت زیر محاسبه می شود:

${\displaystyle f(x;k,\theta )=x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\,\mathrm {and} \,\,k,\theta >0.}$

که در آن ${\displaystyle \Gamma }$ تابع گاما، θ پارامتر مقیاس، و k پارامتر شکل می‌باشند.

تابع گاما، انتگرالی همگراست و مقدار آن برابر با عددی مثبت است:

${\displaystyle \Gamma (k)=\int _{0}^{\infty }y^{k-1}.exp(-y)\,dy,k>0.}$

ویژگی‌ها

هرگاه k (پارامتر شکل) یک عدد صحیح و مثبت چون n باشد، می‌توان از توزیع گاما برای تخمین زدن مدت‌زمان لازم برای روی‌دادن n پیشامد استفاده نمود.

توزیع مجموع

اگر ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma \left(k_{i},\theta \right)}$ اگر n متغیر دو به دو مستقل از هم باشند، آنگاه:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{N}k_{i},\theta \right)\,\!}$

در نتیجه توزیع گاما بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

توزیع‌های مرتبط

هرگاه k=۱ شود، حالت خاصی از توزیع گاما به وجود می‌آید که توزیع نمایی نامیده می‌شود. به ازای k=2 نیز توزیع گاما برابر توزیع رایلی میشود.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Gamma distribution». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۱ فوریه ۲۰۰۸.
• اخوان نیاکی، دکتر سید تقی، نظریه احتمال و کاربرد آن (ویرایش دوم)، مؤسسهٔ انتشارات دانشگاه صنعتی شریف، صص 334 - 332، شابک ‎۹۷۸−۹۶۴−۷۹۸۲−۸۰−۱ .