توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته (GIG : Generalized Inverse Gaussian) در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته با سه پارامتر است. تابع چگالی احتمال این توزیع به صورت زیر است:

${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2},\qquad x>0,}$

که ${\displaystyle K_{p}}$یک تابع بسل اصلاح شده از نوع دوم است، a و b مقادیری مثبت و p یک پارامتر حقیقی است. این توزیع به طور گسترده‌ای در زمین‌آمار، زبانشناسی آماری، دانش مالی و سرمایه‌گذاری و غیره استفاده میشد.

Generalized Inverse Gaussian

فراسنجه‌ها	${\displaystyle a>0,b>0,p\in \mathbb {R} }$
تکیه‌گاه	${\displaystyle x>0}$
Unknown type	${\displaystyle f(x)={\frac {(a/b)^{p/2}}{2K_{p}({\sqrt {ab}})}}x^{(p-1)}e^{-(ax+b/x)/2}}$
میانگین	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {b}}\ K_{-1-p}({\sqrt {ab}})}{{\sqrt {a}}\ K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$
مُد	${\displaystyle {\frac {(p-1)+{\sqrt {(p-1)^{2}+ab}}}{a}}}$
Unknown type	${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {b}{a}}{\Bigl )}\left[{\frac {K_{p+2}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}-{\Biggl (}{\frac {K_{p+1}({\sqrt {ab}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}{\Biggr )}^{2}\right]}$
تابع مولد گشتاور	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{a-2t}}{\biggl )}^{\frac {p}{2}}{\frac {K_{p}({\sqrt {b(a-2t)}})}{K_{p}({\sqrt {ab}})}}}$

مشخصات

مجموع

بارندورف-نیلسن (O. Barndorff-Nielsen) و هالگرین (C. Halgreen) اثبات کردند که توزیع GIG بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.[1]

آنتروپی

آنتروپی توزیع GIG به صورت زیر داده میشود:

${\displaystyle {\begin{aligned}H={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {b}{a}}\right)&{}+\log \left(2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)-(p-1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left({\sqrt {ab}}\right)\right]_{\nu =p}}{K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\\&{}+{\frac {\sqrt {ab}}{2K_{p}\left({\sqrt {ab}}\right)}}\left(K_{p+1}\left({\sqrt {ab}}\right)+K_{p-1}\left({\sqrt {ab}}\right)\right)\end{aligned}}}$

توزیع‌های مرتبط

توزیع گاوسی معکوس و توزیع گاما حالت‌های خاصی از توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle p=-1/2}$ و ${\displaystyle b=0}$ هستند.[2]

به طور دقیق‌، یک توزیع گاوسی معکوس با فرم

${\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )=\left[{\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right]^{1/2}\exp {\frac {-\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}$

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle a=\lambda /\mu ^{2}}$، ${\displaystyle b=\lambda }$ و ${\displaystyle p=-1/2}$ است.

یک توزیع گاما با فرم

${\displaystyle {\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=\beta ^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}}$

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle a=2\beta }$، ${\displaystyle b=0}$ و ${\displaystyle p=\alpha }$ است.

یک توزیع گاما معکوس، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle a=0}$ و ${\displaystyle p<0}$ است.[3]

یک توزیع هایپربولیک، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ${\displaystyle p=0}$ است.[2]

کاربرد‌های احتمالی

1) توزیع GIG به عنوان قانونی برای کسر‌های مسلسل

${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ را دو متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X>0}$ و ${\displaystyle Y\sim \gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a>0}$. در این صورت داریم ${\displaystyle X=d{\frac {1}{Y+X}}}$ اگر و فقط اگر ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,a)}$.

${\displaystyle X}$، ${\displaystyle Y_{1}}$ و ${\displaystyle Y_{2}}$ را سه متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X>0}$، ${\displaystyle Y_{1}\sim \gamma (p,{\frac {b}{2}})}$ و ${\displaystyle Y_{2}\sim \gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a,b>0}$. در این صورت داریم ${\displaystyle X=d{\frac {1}{Y_{1}+{\frac {1}{Y_{2}+X}}}}}$ اگر و فقط اگر ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,b)}$.

به طور کلی اگر ${\displaystyle (Y_{i})_{i\geq 1}}$ یک دنباله از متغیر تصادفی‌های مستقل از هم باشد به طوری که ${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y_{2i-1})={\mathcal {L}}(Y_{1})=\gamma (\lambda ,{\frac {b}{2}})}$ و ${\displaystyle {\mathcal {L}}(Y_{2i})={\mathcal {L}}(Y_{2})=\gamma (\lambda ,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle i\geq 1}$، آنگاه داریم:

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\Biggl (}{\frac {1}{Y_{1}+{\frac {1}{Y_{2}+{\frac {1}{Y_{3}+{}^{._{._{.}}}}}}}}}{\Biggr )}=GIG(-\lambda ,a,b)}$.[4]

2) خاصیت Matsumoto-Yor

دو متغیر تصادفی مثبت و مستقل از هم ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ را در نظر بگیرید به طوری که ${\displaystyle X\sim GIG(-p,a,b)}$ و ${\displaystyle Y\sim \Gamma (p,{\frac {a}{2}})}$ برای ${\displaystyle p,a,b>0}$. خاصیت Matsumoto-Yor بیان می‌کند که متغیر تصادفی‌های ${\displaystyle U={\frac {1}{X+Y}}}$ و ${\displaystyle V={\frac {1}{X}}-{\frac {1}{X+Y}}}$ از هم مستقل هستند.[5]

مثال‌هایی از کاربرد توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

• Jorgensen در سال 1982 ثابت کرد که توزیع GIG فیت مناسب‌تری نسبت به توزیع نمایی در داده های مورد استفاده در موارد زیر است:[4]
  • فواصل زمانی بین خرابی‌های پی‌در‌پی تجهیزات تهویه‌ی هوا در هواپیمای بوئینگ 720
  • فواصل زمانی بین ضربان‌ها در یک فیبر عصبی
  • فواصل زمانی بین رد شدن وسایل نقلیه از یک نقطه
• Iyengar و Liao در سال 1997: فعالیت عصبی؛ مقایسه بین فیت توزیع GIG و فیت توزیع نرمال لگاریتمی.[4]
• Chebana et al در سال 2010: کاربرد در وقایع مفرط هیدرولوژیکی[4]

منابع

1. O. Barndorff-Nielsen, Christian Halgreen (دسامبر ۱۹۷۷). «Infinite divisibility of the hyperbolic and generalized inverse Gaussian distributions» (PDF).
2. Lloyd.، Johnson, Norman (©1994-©1995). Continuous univariate distributions (ویراست ۲nd ed). New York: Wiley. OCLC 29428092. شابک ۰۴۷۱۵۸۴۹۵۹. تاریخ وارد شده در |تاریخ= را بررسی کنید (کمک)
3. Iverson, Cheryl (2009-04-01). "Package Inserts". AMA Manual of Style. doi:10.1093/jama/9780195176339.022.82.
4. A. E. Koudou (مارس ۸, ۲۰۱۸). «The generalized inverse Gaussian distribution» (PDF). بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۲۹ ژانویه ۲۰۱۹. دریافت‌شده در ۳۰ نوامبر ۲۰۱۸.
5. Matsumoto, H. and Yor, M. (۲۰۰۱). «An analogue of Pitman's 2M - X theorem for exponential Wiener functional, Part II: the role of the generalized inverse Gaussian laws». Nagoya Math. J.

• Gérard Letac and Vanamamalai Seshadri، A characterization of the generalized inverse Gaussian distribution by continued fractions، Probability Theory and Related Fields, Vol 62 (1983)، pp. 485-489 doi:10.1007/BF00534200