ضرب دیریکله

در نظریه اعداد، ضرب دیریکله یا پیچش دیریکله توابع حسابی، یک عمل دوتایی بین توابع حسابی است که از اهمیت زیادی برخوردار است. این نوع عمل اولین بار توسط دیریکله ریاضیدان آلمانی تعریف شده است.

تعریف

اگر f و g دو تابع حسابی باشند، در این صورت حاصل ضرب دیریکله f و g را با f*g نشان می‌دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}$

که در آن مجموع روی مقسوم علیه‌های n است. چنین مجموع‌هایی در سراسر نظریه اعداد بویژه نظریه تحلیلی اعداد رخ می‌دهند و لذا از اهمیت خاصی دارند.

خواص جبری ضرب دیریکله

قضیه

حاصل ضرب دیریکله توابع حسابی جابجایی است. یعنی اگر f,g توابعی حسابی باشند، f*g=g*f

برهان

برای هر عدد طبیعی n داریم:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d|n}g(d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=(g*f)(n)}$

توجه داشته باشید که دو مجموع فوق فقط در ترتیب عوامل شرکت کننده در جمع تفادت دارند.￭

قضیه

حاصل ضرب دیریکله توابع حسابی شرکت پذیر است. یعنی اگر f,g،h توابعی حسابی باشند،

f*(g*h)=(f*g)*h

برهان

ابتدا توجه می‌کنیم که برای هر عدد طبیعی n می‌توان نوشت:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{ab=n}f(a)g(b)}$

حال برای هر n داریم:

${\displaystyle ((f*g)*h)(n)=\sum _{ab=n}(f*g)(a)h(b)=\sum _{ab=n}\left(\sum _{cd=a}f(c)g(d)\right)g(b)}$

پس:

${\displaystyle ((f*g)*h)(n)=\sum _{adb=n}f(c)g(d)h(b)}$

از طرفی داریم:

${\displaystyle (f*(g*h))(n)=\sum _{ab=n}f(a)(g*h)(b)}$

پس:

${\displaystyle (f*(g*h))(n)=\sum _{ab=n}f(a)\left(\sum _{cd=b}g(c)h(d)\right)=\sum _{acd=n}f(a)g(c)h(d)}$

پس حکم ثابت می‌شود.￭

قضیه

تابع همانی ${\displaystyle I(n)=\left[{\frac {1}{n}}\right]}$ عضو خنثی نسبت به ضرب دیریکله توابع حسابی است.

برهان

برای هر تابع حسابی f و عدد طبیعی n، داریم:

${\displaystyle (f*I)(n)=\sum _{d|n}f(d)\left[{\frac {d}{n}}\right]=f(n)}$

توجه داشته باشید که جملات مجموع فوق برای هر d<n صفر بوده و برای d=n برابر (f(n می‌باشد. حال چون ضرب دیریکله جابجایی است پس f*I=I*f=f و لذا حکم ثابت می‌شود.￭

قضیه

ضرب دیریکله روی جمع توابع حسابی پخش پذیر است. یعنی اگر f,g،h توابعی حسابی باشند آنگاه:

f*(h+g)=f*g+f*h

برهان

برای هر عدد n داریم:

${\displaystyle (f*(g+h))(n)=\sum _{d|n}f(d)(g+h)\left({\frac {n}{d}}\right)}$

پس:

${\displaystyle (f*(g+h))(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)+\sum _{d|n}f(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=(f*g)(n)+(f*h)(n)}$

ولذا حکم برقرار است.￭

قضیه

حاصل ضرب دیریکله دو تابع ضربی، تابعی ضربی است.

برهان

فرض می‌کنیم f,g دو تابع ضربی باشند و h=f*g. در این صورت اگر n,m اعداد طبیعی و متباین(نسبت به هم اول) باشند داریم:

${\displaystyle h(mn)=\sum _{d|mn}f(d)g\left({\frac {mn}{d}}\right)}$

خواننده می‌تواند تحقیق کند که اگر m,n اعداد صحیح و متباین باشند و d|mn اعداد صحیح و یکتایی چون d₁,d₂ وجود دارند به طوری که d=d₁d₂ و d₁|m و d₂|n. با بکارگیری این قضیه برای هر d|mn اعداد a,b وجود دارند که d=ab و a|m و b|n پس عبارت فوق به صورت زیر قابل تبدیل است:

${\displaystyle h(mn)=\sum _{a|m \atop b|n}f(ab)g\left({\frac {mn}{ab}}\right)}$

چون 1=(n,m) پس 1=(a,b) و نیز 1=(m/a,n/b) و چون f,g توابعی ضربی اند:

${\displaystyle h(mn)=\sum _{a|m \atop b|n}f(a)g\left({\frac {m}{a}}\right)f(b)g\left({\frac {n}{b}}\right)}$

پس:

${\displaystyle h(mn)=\sum _{a|m}f(a)g\left({\frac {m}{a}}\right)\sum _{b|n}f(b)g\left({\frac {n}{b}}\right)}$

${\displaystyle \quad \ =(f*g)(m)(f*g)(n)=h(m)h(n)}$

بنابراین h ضربی است و حکم ثابت می‌شود.￭

معکوس دیریکله

نکته جالب توجه این است که رده‌ای از توابع حسابی نسبت به ضرب دیریکله دارای معکوس هستند. اگر f تابعی حسابی باشد، تابع حسابی g را معکوس دیریکله f می‌گوییم هرگاه f*g=g*f=I. قضیه زیر بیان می‌کند که یک تابع حسابی در چه صورت دارای معکوس دیریکله است.

قضیه

اگر f تابعی حسابی باشد که 0≠(f(1 در این صورت تابع حسابی یکتایی چون f⁻¹ وجود دارد که معکوس دیریکله f نام دارد و داریم f*f⁻¹=f⁻¹*f=I که I تابع همانی است. همچنین f⁻¹ از دستور زیر برای هر n قابل محاسبه است:

${\displaystyle f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}}$

${\displaystyle \forall n>1:f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d|n \atop d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d)}$

برهان

فرض می‌کنیم f تابعی حسابی باشد که 0≠(f(1. نشان می‌دهیم معادله f*f⁻¹=I برای هر عدد طبیعی جواب یکتا دارد. این کار را به استقرا روی n انجام می‌دهیم. اگر n=1 در این صورت:

${\displaystyle (f*f^{-1})(1)=f(1)f^{-1}(1)=1=I(1)}$

پس جواب معادله ${\displaystyle f^{-1}={\frac {1}{f(1)}}}$ است و یکتا است. حال فرض می‌کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک‌تر از n درست باشد. نشان می‌دهیم حکم برای n نیز درست است. معادله

${\displaystyle (f*f^{-1})(n)=I(n)=0}$

را حل می‌کنیم(چون n>1 عبارت برابر صفر است). داریم:

${\displaystyle (f*f^{-1})(n)=f(1)f^{-1}(n)+\sum _{d|n \atop d<n}f(n/d)f^{-1}(d)=0}$

پس:

${\displaystyle f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d|n \atop d<n}f(n/d)f^{-1}(d)}$

و بنابر فرض استقرا جوابی یکتا حاصل می‌شود و برهان کامل می‌شود.￭

معکوس دبریکله تابع کاملاً ضربی

اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، معکوس دیریکله آن به سادگی قابل محاسبه است. ابتدا دقت می‌کنیم که هر تابع ضربی و بخصوص تابع کاملاً ضربی دارای این خاصیت است که 1=(f(1 پس معکوس دیریکله در هر حال وجود دارد.

قضیه

اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، f⁻¹=f.μ که در آن μ تابع موبیوس است.

برهان

فرض کنیم f تابعی کاملاً ضربی باشد. در این صورت با فرض g=f.μ داریم:

${\displaystyle (g*f)(n)=\sum _{d|n}g(d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d|n}f(d)\mu (d)f\left({\frac {n}{d}}\right) \atop =\sum _{d|n}f(n)\mu (d)=f(n)\sum _{d|n}\mu (d)=f(n)I(n)=I(n)}$

پس ${\displaystyle f^{-1}(n)=f(n)\mu (n)}$ و لذا حکم ثابت می‌شود.￭

• توجه داشته باشید که عکس قضیه فوق نیز برقرار است که ما در اینجا به آن نمی‌پردازیم.

چند نتیجه مهم

فرض می‌کنیم:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} |f(1)\neq 0\}}$

با بررسی خواص و مطالبی که تا کنون در مورد ضرب دیریکله توابع حسابی بیان کردیم می‌توان گفت مجموعه F (مجموعه همه توابع حسابی که در یک مخالف صفر هستند):

1. به همرا عمل ضرب دیریکله تشکیل یک گروه آبلی را می‌دهد.
2. به همراه جمع توابع و ضرب دیریکله تشکیل یک میدان می‌دهد. بعلاوه مجموعه همه توابع حسابی در حالت کلی به همراه جمع توابع و ضرب دیریکله تشکیل یک حلقه جابجایی یکدار را تشکیل می‌دهد که عناصر یکه در آن توابعی هستند که در نقطه یک صفر نشو باشند.

پیچش‌های تعمیم یافته

بدلیل اهمیت نوع مجموع‌هایی که در ضرب دیریکله دو تابع حسابی ظاهر می‌شود این مجموع را بین یک تابع حسابی و یک تابع مختلط یا حقیقی تعمیم می‌دهند.

از این پس، فرض کنید F تابع حقیقی یا مختلط با دامنه اعداد حقیقی مثبت باشد که برای هر ${\displaystyle 0<x<1}$، داشته باشیم 0=(F(x. حال اگر α تابعی حسابی باشد، عمل ${\displaystyle \circ }$ را به بین F و α به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle (\alpha \circ F)(x)=\sum _{n\leq x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)}$

که ${\displaystyle \alpha \circ F}$ را می‌توان تابعی چون (G(x در نظر گرفت.

توجه داشته باشید که اگر برای هر عدد غیر صحیح x داشته باشیم 0=(F(x در این صورت با تحدید دامنه F به مجموعه اعداد صحیح F تابعی حسابی خواهد بود و عمل ° در آن همان عمل ضرب دیریکله * خواهد بود. از این رو عمل ° تعمیمی بر ضرب دیریکله * است.

به آسانی می‌توان تحقیق کرد که تابع همانی I معکوس چپ پیچش تعمیم یافته است. یعنی برای هر تابع F داریم I°F=F.

قضیه

فرض کنید ° عمل پیچش تعمیم یافته باشد و * ضرب دیریکله باشد و α,β دو تابع حسابی باشند در این صورت:

${\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha *\beta )\circ F}$

برهان

برای هر x>0 داریم:

${\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum _{n\leq x}\alpha (n)(\beta \circ F)(x/n)}$

${\displaystyle =\sum _{n\leq x}\alpha (n)\sum _{m\leq {\frac {x}{n}}}\beta (m)F\left({\frac {x}{nm}}\right)}$

حال چون mn≤x و mn عددی صحیح است پس به ازای عدد صحیح d داریم mn=d پس n|d و d≤x بعلاوه این نشان می‌دهد عدد صحیح m وجود دارد که mn=d≤x. پس:

${\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum _{d\leq x}\left(\sum _{n|d}\alpha (n)\beta (n/d)F(x/d)\right)}$

${\displaystyle =\sum _{d\leq x}(\alpha *\beta )(d)F(x/d)=((\alpha *\beta )\circ F)(x)}$

و برهان حکم کامل می‌شود.￭

انعکاس تعمیم یافته

اگر α تابعی حسابی با معکوس دیریکله ^1-α باشد و x>0، در این صورت اگر:

${\displaystyle G(x)=\sum _{n\leq x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)}$

آنگاه

${\displaystyle F(x)=\sum _{n\leq x}\alpha ^{-1}(n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}$

برهان

برای اثبات از خواص جبری پیچش تعمیم یافته استفاده می‌کنیم. بنابه فرض داریم ${\displaystyle G=\alpha \circ F}$ پس:

${\displaystyle \alpha ^{-1}\circ G=\alpha ^{-1}\circ (\alpha \circ F)=(\alpha ^{-1}*\alpha )\circ F=F}$

پس: ${\displaystyle F(x)=\sum _{n\leq x}\alpha ^{-1}(n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}$

و برهان کامل است.￭

فرمول انعکاس موبیوس

معادله ی ${\displaystyle f(n)=\sum \limits _{d\left|n\right.}{g(d)}}$

معادله ی ${\displaystyle g(n)=\sum \limits _{d\left|n\right.}{f(d)\mu ({\frac {n}{d}}})}$ را که فرمول انعکاس موبیوس نام دارد ایجاب می کند. برعکس فرمول انعکاس موبیوس معادله ی اول را ایجاب می کند.

جستارهای وابسته

• تابع حسابی
• تابع ضربی
• فرمول انعکاس موبیوس
• تابع فی اویلر
• تابع موبیوس

منابع

• ویلیام دبلیو. آدامز، لری جوئل گولدشتین (۱۳۸۴)، آشنایی با نظریه اعداد، ترجمهٔ دکتر آدینه محمد نارنجانی، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۰۷۰-۶
• تام آپوستل (۱۳۷۶)، نظریه تحلیلی اعداد (۱)، ترجمهٔ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده-علی‌اکبر رحیم‌زاده، تهران: نشر منصوری، شابک ۹۶۴-۶۱۶۶-۰۶-۷
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Dirichlet convolution». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ آگوست ۲۰۰۷.