فهرست سری‌های ریاضی

در این صفحه فهرست سری‌های ریاضی برای سری‌های هم‌گرا و واگرا را می‌یابید.

حاصل‌جمع سری‌های توانی

• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m={\frac {n(n+1)}{2}}\,\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\,\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left(\sum _{m=1}^{n}m\right)^{2}\,\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\,\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}m^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!}$

که ${\displaystyle B_{k}\,}$ عدد برنولی ${\displaystyle k\,}$-اُم، و ${\displaystyle B_{1}\,}$ عددی منفی است.

• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m^{-s}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)\,\!}$

که ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ تابع زتای ریمان است.

سری‌های توانی

برای حالت‌های نامتناهی: ${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}x^{m}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=1+{\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}\right)}$ که ${\displaystyle r>0}$ و ${\displaystyle x={\frac {1}{1+r}}.\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{2m}={\frac {1}{1-x^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }mx^{m}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mx^{m}=x{\frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {nx^{n+1}}{1-x}}\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m^{2}x^{m}={\frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}}\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}m^{2}x^{m}={\frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}}\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m^{3}x^{m}={\frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m^{4}x^{m}={\frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}}\,\!}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m^{k}x^{m}=\operatorname {Li} _{-k}(x),\,\!}$

که ${\displaystyle Li_{s}(x)}$ پلی‌لگاریتم x است.

سری‌های سادهٔ کسری

• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m}}=\ln \left({\frac {1}{1-x}}\right)}$ برای ${\displaystyle |x|<1\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{2m+1}}x^{2m+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\arctan(x)\,\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m+1}}{2m+1}}=\mathrm {arctanh} (x)}$ برای ${\displaystyle |x|<1\,\!}$

سری‌های کسری فاکتوریلی

بسیاری از سری‌های توانی که از بسط تیلور به دست می‌آیند، ضریب‌های فاکتوریلی دارند.

• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}=e^{x}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!}}x^{m}={\frac {1}{e^{x}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }m{\frac {x^{m}}{m!}}=xe^{x}}$ (توزیع پواسون)
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }m^{2}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+x^{2})e^{x}}$ (مشتق دوم توزیع پواسون)
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }m^{3}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }m^{4}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }m^{n}{\frac {x^{m}}{m!}}=x{\frac {d}{dx}}\sum _{m=0}^{\infty }m^{n-1}{\frac {x^{m}}{m!}}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m+1)!}}x^{2m+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m)!}}x^{2m}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m+1}}{(2m+1)!}}=\sinh x}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m}}{(2m)!}}=\cosh x}$

• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(2m)!}{4^{m}(m!)^{2}(2m+1)}}x^{2m+1}=\arcsin x\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}(2m)!}{4^{m}(m!)^{2}(2m+1)}}x^{2m+1}=\mathrm {arcsinh} (x)\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(4m)!}{16^{m}{\sqrt {2}}(2m)!(2m+1)!}}x^{m}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-x}}}{x}}}}$ [1]
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {4^{m}(m)!^{2}}{(m+1)(2m+1)!}}x^{2m}=\left({\frac {\arcsin {x}}{x}}\right)^{2}}$ [1]
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\prod _{n=0}^{m-1}(4n^{2}+1)}{(2m)!}}x^{2m}+\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {4^{m}\prod _{n=1}^{m}({\frac {1}{2}}-n+n^{2})}{(2m+1)!}}x^{2m+1}=e^{\arcsin {x}}}$ [1]

سری‌های دوجمله‌ای

سری‌های هندسی:

• ${\displaystyle (1+x)^{-1}={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }(-x)^{m}&|x|<1\\\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }-(x)^{-m}&|x|>1\\\end{cases}}}$

بسط دوجمله‌ای:

• ${\displaystyle (a+x)^{n}={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n}{m}}a^{n-m}x^{m}&|x|\!<\!|a|\\\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n}{m}}a^{m}x^{n-m}&|x|\!>\!|a|\\\end{cases}}}$

• ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{m=0}^{\infty }{\alpha \choose m}x^{m}}$

برای تمام ${\displaystyle |x|<1}$ و تمام ${\displaystyle \alpha \!}$های مختلط

عمومی‌شدهٔ ضریب‌های دوجمله‌ای

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!}$

ریشهٔ دوم:

• ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}(2m)!}{(1-2m)m!^{2}4^{m}}}x^{m}}$ برای ${\displaystyle |x|<1\!}$

گوناگون:

• [2] ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{m+n \choose m}x^{m}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}}$
• [2] ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m+1}}{2m \choose m}x^{m}={\frac {1}{2x}}(1-{\sqrt {1-4x}})}$
• [2] ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{2m \choose m}x^{m}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}}$
• [2] ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{2m+n \choose m}x^{m}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\right)^{n}}$

عددهای برنولی

• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}}{m!}}x^{m}={\frac {x}{e^{x}-1}}}$ [1]
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-4)^{m}B_{2m}}{(2m)!}}x^{2m}=x\cot {x}}$ [1]
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}2^{2m}(2^{2m}-1)B_{2m}}{(2m)!}}x^{2m-1}=\tan {x}}$ [1]
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}(4^{m}-2)B_{2m}}{(2m)!}}x^{2m}={\frac {x}{\sin {x}}}}$ [1]

عددهای هارمونیک

• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }H_{m}x^{m}={\frac {\log {\frac {1}{1-x}}}{1-x}}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }{\frac {H_{2m-1}}{m}}x^{m}={\frac {1}{2}}\left(\log {\frac {1}{1-x}}\right)^{2}}$ [1]
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}H_{2m}}{2m+1}}x^{2m+1}={\frac {1}{2}}\arctan {x}\log {(1+x^{2})}}$ [1]
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\sum _{n=0}^{2m}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}{4m+2}}x^{4m+2}={\frac {1}{4}}\arctan {x}\log {\frac {1+x}{1-x}}}$ [1]

ضریب‌های دوجمله‌ای

• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{n \choose m}=2^{n}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{n \choose m}a^{(n-m)}b^{m}=(a+b)^{n}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose m}=0}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{m \choose k}={n+1 \choose k+1}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{k+m \choose m}={k+n+1 \choose n}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=0}^{r}{r \choose m}{s \choose n-m}={r+s \choose n}}$

تابع‌های مثلثاتی

برخی از سینوس‌ها و کسینوس‌ها از سری فوریه به دست می‌آیند.

• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}\sin \left({\frac {m\pi }{n}}\right)=0}$
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}\cos \left({\frac {m\pi }{n}}\right)=0}$

دسته‌بندی نشده

• ${\displaystyle \sum _{m=b+1}^{\infty }{\frac {b}{m^{2}-b^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2b}}$
• ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {y}{m^{2}+y^{2}}}=-{\frac {1}{2y}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi y)}$

جستارهای وابسته

• سری (ریاضیات)
• فهرست‌های انتگرال‌ها
• سری تیلور
• بسط دوجمله‌ای
• سری گریگوری

منابع

1. generatingfunctionology
2. Theoretical computer science cheat sheet

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «List of mathematical series». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ فوریهٔ ۲۰۱۱.