مشتق دوم

مشتق دوم یا مشتق مرتبه دو، مشتقِ مشتق تابع f می‌باشد. به‌طور کلی، مشتق دوم دربارهٔ چگونگی نرخ تغییرات یک کمیت است. برای مثال، مشتق دوم معادله مکان یک وسیله نقلیه، شتاب لحظه‌ای آن را نتیجه می‌دهد.

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}}$

بخشی از سری مقالات
حسابان
قضیه اساسی قاعده انتگرال گیری لایبنیز حد توابع پیوستگی قضیه مقدار میانگین قضیه رول
دیفرانسیل تعاریف مشتق (تعمیم‌ها) دیفرانسیل بی‌نهایت‌کوچک‌ها از یک تابع کلی مفاهیم نمادگذاری دیفرانسیل گیری مشتق دوم دیفرانسیل گیری ضمنی دیفرانسیل گیری لگاریتمی نرخ های مرتبط قضیه تیلور قواعد و اتحادها جمع ضرب زنجیره توان خارج قسمت قاعده هوپیتال معکوس لایبنیز عمومی فرمول فا دی برونو
انتگرال لیست انتگرال‌ها تبدیل انتگرالی تعاریف پادمشتق انتگرال (نامعین) انتگرال ریمانی انتگرال لبگ انتگرال کانتور انتگرال توابع معکوس انتگرال گیری توسط جزء به جزء دیسک ها پوسته‌های سیلندری تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر) فرمول اویلر کسرهای جزئی تغییر ترتیب فرمول کاهش دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
سری هندسی (حسابی-هندسی) هارمونیک متناوب توانی دوجمله‌ای تیلور آزمون‌های همگرایی حد جمعوند (آزمون جمله) نسبت ریشه انتگرال آزمون مقایسه مقایسه حدی سری‌های متناوب چگالی کوشی دیریکله آبل
بردار گرادیان دیورژانس کرل لاپلاس مشتق جهتی اتحادها قضایا گرادیان گرین استوکس دیورژانس استوکس تعمیم یافته
چندمتغیره فرمالیسم‌ها ماتریس تنسور خارجی هندسی تعاریف مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ژاکوبی هسین
تخصصی کسری مالیاوین تصادفی تغییرات
متفرقه پیش-حسابان تاریخچه واژه‌نامه فهرست موضوعا

مشتق دوم یک تابع درجه دوم یک تابع ثابت است.

در نمودار یک تابع، مشتق دوم انحنا یا تقعر یک تابع را مشخص می‌کند. اگر مشتق دوم یک تابع در بازه‌ای مثبت باشد تقعر منحنی رو به بالا، اگر مشتق دوم منفی باشد تقعر رو به پایین و اگر مشتق دوم صفر باشد تابع در آن بازه تقعری ندارد.

ضابطه مشتق دوم

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}[x^{n}]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}[x^{n}]={\frac {d}{dx}}[nx^{n-1}]=n{\frac {d}{dx}}[x^{n-1}]=n(n-1)x^{n-2}.}$

نشانه گذاری

مشتق دوم تابع ${\displaystyle f(x)\!}$ را با نماد ${\displaystyle f''(x)\!}$ نشان می‌دهند.

${\displaystyle f''=(f')'\!}$

هنگامی که با استفاده از نماد لایبنیتس برای مشتقات، مشتق دوم یک Y متغیر وابسته، با توجه به متغیر x مستقل نوشته می‌شود:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

این نماد از فرمول زیر بدست آمده است:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

مثال

با توجه به تابع

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}}{2}}+e^{x}+4x-6}$

مشتق تابع f می‌شود:

${\displaystyle f'(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+e^{x}+4}$

و مشتق تابع f' می‌شود:

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {3}{2}}x^{2}+e^{x}+4\right)'=3x+e^{x}}$

در واقع برای بدست آمدن مشتق دوم باید از مشتق اول، یا (از تابع اصلی دوبار) مشتق گرفت.

ارتباط با نمودار

تابع ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ از دامنه ${\displaystyle -\pi /4}$ تا ${\displaystyle 5\pi /4}$ خط مماس آبی در نقاطی که تقعر منحنی رو به بالا، خط مماس سبز در نقاطی که تقعر منحنی رو به پایین و خط مماس قرمز در نقاط عطف (0, ${\displaystyle \pi }$/۲، و ${\displaystyle \pi }$) می‌باشد.

تقعر

اگر مشتق دوم تابع f مثبت باشد تقعر منحنی رو به بالا می‌باشد (خط مماس بر منحنی زیر نمودار تابع محدب قرار می‌گیرد) و اگر مشتق دوم تابع f منفی باشد تقعر منحنی رو به پایین می‌باشد (خط مماس بر منحنی در بالای نمودار تابع کاو قرار می‌گیرد)

نقاط عطف

نقطهٔ عطف، نقطه‌ای بر روی یک خم است که انحنای آن خم در آن نقطه تغییر جهت می‌دهد. در واقع در نقطهٔ عطف جهت تقعر عوض می‌شود. به عبارت دیگر علامت مشتق دوم یک تابع، قبل و بعد از نقطهٔ عطفش بر روی تابع تغییر می‌کند. (مثبت به منفی یا بالعکس)

آزمون مشتق دوم

برای پیدا کردن نقاط اکسترمم نسبی تابع می‌توان از آزمون مشتق دوم استفاده کرد:

• اگر ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)<0}$ باشد آنگاه ${\displaystyle \ f}$ در آن نقطه ماکسیمم نسبی است.
• اگر ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)>0}$ باشد آنگاه ${\displaystyle \ f}$ در آن نقطه مینیمم نسبی است.
• اگر ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0}$ باشد آنگاه آزمون مشتق دوم پاسخی ندارد و باید به سراغ آزمون مشتق اول رفت.

حد

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

این حد مشتق متقارن دوم است. توجه داشته باشید که مشتق متقارن دوم ممکن است وجود داشته حتی زمانی که (طبق معمول) مشتق دوم وجود نداشته باشد. در سمت راست به عنوان خارج قسمت تفاوت نوشته شده‌است:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$

این حد را می‌توان به عنوان یک نسخه مداوم از تفاضل محدود برای دنباله در نظر گرفت. باید توجه داشت که وجود حد بالا به این معنا نیست که تابع ${\displaystyle f}$ دارای مشتق دوم می‌باشد. حد بالا فقط یک احتمال برای محاسبه مشتق دوم می‌دهد اما یک تعریف ارائه نمی‌دهد. مثال نقض آن تابع علامت ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ است که از طریق تعریف

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

تابع علامت صفر است و در نتیجه مشتق دوم برای ${\displaystyle x=0}$ وجود ندارد. اما حد بالا وجود دارد.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {1-2\cdot 0+(-1)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}\\&=0\end{aligned}}}$

تخمین درجه دوم

به عنوان مشتق اول به تقریب خطی، مشتق دوم است که به بهترین تقریب درجه دوم برای یک تابع f مرتبط است. این فرمول برای بهترین تقریب درجه دوم به یک تابع f در اطراف نقطه x = A است:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$

این تقریب درجه دوم مرتبه دوم چند جمله‌ای تیلور برای تابع محور در x = a است.

جستارهای وابسته

• مشتق
• مشتق سوم

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Second derivative». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ شهریور ۱۳۹۴.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Tweede afgeleide». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای هلندی، بازبینی‌شده در ۳۰ شهریور ۱۳۹۴.

پیوند به بیرون

• حساب‌گر توابع WIMS محاسبهٔ برخط مشتق توابع؛ این نرم‌افزار، شامل تمرین‌های تعاملی نیز هست.