قضیه استوکس

در هندسه دیفرانسیل، قضیه استوکس گزاره‌ای است درباره انتگرال فرم‌های دیفرانسیلی که حالت عمومی چند قضیه دیگر می‌باشد. این قضیه به نام جرج گابریل استوکس نام‌گذاری شده.

بخشی از سری مقالات
حسابان
قضیه اساسی قاعده انتگرال گیری لایبنیز حد توابع پیوستگی قضیه مقدار میانگین قضیه رول
دیفرانسیل تعاریف مشتق (تعمیم‌ها) دیفرانسیل بی‌نهایت‌کوچک‌ها از یک تابع کلی مفاهیم نمادگذاری دیفرانسیل گیری مشتق دوم دیفرانسیل گیری ضمنی دیفرانسیل گیری لگاریتمی نرخ های مرتبط قضیه تیلور قواعد و اتحادها جمع ضرب زنجیره توان خارج قسمت قاعده هوپیتال معکوس لایبنیز عمومی فرمول فا دی برونو
انتگرال لیست انتگرال‌ها تبدیل انتگرالی تعاریف پادمشتق انتگرال (نامعین) انتگرال ریمانی انتگرال لبگ انتگرال کانتور انتگرال توابع معکوس انتگرال گیری توسط جزء به جزء دیسک ها پوسته‌های سیلندری تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر) فرمول اویلر کسرهای جزئی تغییر ترتیب فرمول کاهش دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
سری هندسی (حسابی-هندسی) هارمونیک متناوب توانی دوجمله‌ای تیلور آزمون‌های همگرایی حد جمعوند (آزمون جمله) نسبت ریشه انتگرال آزمون مقایسه مقایسه حدی سری‌های متناوب چگالی کوشی دیریکله آبل
بردار گرادیان دیورژانس کرل لاپلاس مشتق جهتی اتحادها قضایا گرادیان گرین استوکس دیورژانس استوکس تعمیم یافته
چندمتغیره فرمالیسم‌ها ماتریس تنسور خارجی هندسی تعاریف مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ژاکوبی هسین
تخصصی کسری مالیاوین تصادفی تغییرات
متفرقه پیش-حسابان تاریخچه واژه‌نامه فهرست موضوعا

تعریف

هرگاه ${\displaystyle \psi }$ یک زنجیر k بعدی از رده ${\displaystyle \varphi ''}$ در مجموعه ${\displaystyle V\subset R^{m}}$ و ${\displaystyle \omega }$ یک فرم (k-۱) بعدی از رده ${\displaystyle \varphi '}$ در ${\displaystyle V}$ باشد، آنگاه :

${\displaystyle \int _{\psi }d\omega =\oint _{\partial \psi }\omega }$

حالت‌های خاص

• حالت k = m = ۱ قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال با فرض اضافی مشتقپذیری است.
• حالت k = m = ۲ قضیه گرین است
• حالت k = m = ۳ قضیه دیورژانس گاوس است
• حالت k = ۲، m = ۳ قضیه‌ای است که توسط جرج گابریل استوکس کشف شد.

رابطه تاو (چرخش یا کِرل) و قضیه استوکس

حالت خاصی از قضیه استوکس به قضیه کاربردی زیر تبدیل می‌شود که در بسیاری از کتاب‌های درسی از این قضیه به عنوان قضیه استوکس نام برده می شود:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;da}$

در اینجا ${\displaystyle \mathbf {F} \;}$ یک میدان برداری دلخواه در فضااست، ${\displaystyle S}$ رویه ای جهت پذیر در فضا است به طوری که خم ${\displaystyle C}$ مرز آن رویه است. بردار ${\displaystyle d\mathbf {r} }$؛ بردار المان طول در راستای خم ${\displaystyle C}$(مرز رویه ${\displaystyle S}$) است و بردار ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ بردار یکه(به طول یک) و عمود بر رویه ${\displaystyle S}$ است.

انتخاب جهت بردار های ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ و ${\displaystyle d\mathbf {r} }$

که برای هر یک از بردار های ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ و ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ در انتگرال های فوق دو جهت می توان در نظر گرفت و در صورت اشتباه در انتخاب جهت ها ممکن است تساوی فوق از لحاظ علامت اشتباه به دست آید.

برای انتخاب این جهت می توان به طریق زیر عمل کرد: اگر فرض کنید که شخصی روی خم ${\displaystyle C}$ در جهت انتگرالگیری (یعنی همان جهت ${\displaystyle d\mathbf {r} }$) راه برود و طوری بایستد که راستای قامتش در جهت ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ آنگاه دست چپ وی به سمت داخل رویه خواهد بود.

منابع

• والتر رودین (۱۳۸۱)، اصول آنالیز ریاضی، ترجمهٔ علی اکبر عالم‌زاده، تهران: انتشارات علمی وفنی، ص. صفحه ۳۳۰، شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹
• سیاوش شهشهانی، حساب دیفرانسیل و انتگرال(جلد دوم)